2019年
第三节 等比数列
☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆
考纲要求 真题举例 2016，全国卷Ⅲ，17,12分(等比数列的证明、通项公式) 1.理解等比数列的概念； 2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式； 3.了解等比数列与指数函数的关系。 2016，全国卷Ⅰ，15,5分(等比数列有关最值问题) 2015，全国卷Ⅱ，4,5分(等比数列的计算) 2015，全国卷Ⅱ，17,12分(等比数列的判定、基本运算与性质) 微知识 小题练 自|主|排|查 1．等比数列的有关概念 (1)定义：
①文字语言：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数。 ②符号语言：主要以选择题、填空题的形式考查等比数列的基本运算与简单性质。解答题往往与等差数列、数列求和、不等式等问题综合考查。 命题角度 an＋1*
＝q(n∈N，q为非零常数)。 an(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。即：G是a与b的等比中项?a，
G，b成等比数列?G2＝ab。
2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1qn－1
。
na1，q＝1，??
(2)前n项和公式：Sn＝?a11－qna1－anq＝，?1－q?1－q3．等比数列的性质
(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m q≠1。
(m，n∈N)。
*
(2)对任意的正整数m，n，p，q，若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq。 特别地，若m＋n＝2p，则am·an＝ap。
(3)若等比数列前n项和为Sn，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m仍成等比数列，即(S2m－Sm)＝Sm(S3m－S2m)(m∈N，公比q≠－1)。
(4)数列{an}是等比数列，则数列{pan}(p≠0，p是常数)也是等比数列。
(5)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，
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公比为q。
微点提醒
k1．等比数列的概念的理解
(1)等比数列中各项及公比都不能为零。
(2)由an＋1＝qan(q≠0)，并不能断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0。 (3)等比数列中奇数项的符号相同，偶数项的符号相同。 2．等比数列{an}的单调性
??a1>0，
(1)满足?
?q>1???a1>0，
(2)满足?
?0 (3)当? ?q＝1? ??a1<0，或? ?0 时，{an}是递增数列。 时，{an}是递减数列。 时，{an}为常数列。 (4)当q<0时，{an}为摆动数列。 小|题|快|练 一 、走进教材 1．(必修5P68B组T1(1)改编)等比数列{an}各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10 ＝( ) A．12 C．8 B．10 D．2＋log35 5 5 【解析】 ∵a4a7＝a5a6，∴a5a6＝9，又log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10)＝log3(a5a6)＝log39＝10。故选B。 【答案】 B S61S9 2．(必修5P62B组T2改编)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝，则＝________。 S32S3 S611122 【解析】 S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，则(S6－S3)＝S3·(S9－S6)，由＝知S6＝S3，则S3＝S3·(S9 S3224 3S93 －S6)，所以S9＝S3，所以＝。 4S34 3 【答案】 4二、双基查验 1．等比数列{an}中，a4＝4，则a2·a6等于( ) A．4 B．8 2019年 C．16 【解析】 a2·a6＝a4＝16。故选C。 【答案】 C 2 D．32 2．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7＝( ) A．64 C．128 【解析】 q＝ B．81 D．243 a2＋a3 ＝2， a1＋a2 7－1 故a1＋a1q＝3?a1＝1，a7＝1×2【答案】 A ＝64。故选A。 3．(2016·四川高考)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入。若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( ) (参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30) A．2018年 C．2020年 B．2019年 D．2021年 【解析】 根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以，从2015年起，每年投入的研发资金组成一个等比数列{an}，其中，首项a1＝130，公比q＝1＋12%＝1.12，所以an＝130× 1.12 n－1 。由130×1.12 n－1 lg2－lg1.3lg2－lg1.30.30－0.11 >200，两边同时取对数，得n－1>，又≈＝3.8，则 lg1.12lg1.120.05 n>4.8，即a5开始超过200，所以2019年投入的研发资金开始超过200万元。故选B。 【答案】 B 4．等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋3S2＝0，则公比q＝________。 【解析】 ∵S3＋3S2＝0， ∴a1＋a2＋a3＋3(a1＋a2)＝0， ∴a1(4＋4q＋q)＝0。 ∵a1≠0，∴q＝－2。 【答案】 －2 5．若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e，则lna1＋lna2＋…＋lna20＝________。 【解析】 解法一：各项均为正数的等比数列{an}中a10a11＝a9a12＝…＝a1a20， 则a1a20＝e， lna1＋lna2＋…＋lna20＝ln(a1a20)＝lne＝50。 解法二：各项均为正数的等比数列{an}中a10a11＝a9a12＝…＝a1a20， 则a1a20＝e， 设lna1＋lna2＋…＋lna20＝S， 则lna20＋lna19＋…＋lna1＝S， 5 10 50 5 5 2 2019年 2S＝20ln(a1a20)＝100，S＝50。 【答案】 50 微考点 大课堂 考点一 【典例1】 {an}为等比数列，求下列各值。 1 (1)已知a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝，求n； 2(2)已知a2·a8＝36，a3＋a7＝15，求公比q； (3)已知q＝－2，S8＝15(1－2)，求a1。 【解析】 (1)解法一： ??a4＋a7＝a3·q＋a6·q＝q∵? ?a3＋a6＝36，? 等比数列的基本运算 a3＋a6＝18， 1∴q＝。 2 又∵a3＋a6＝a3(1＋q)＝36，∴a3＝32。 ∵an＝a3·qn－3 3 ?1?n－38－n1－1 ＝32·??＝2＝＝2， 2?2? 3 3 2 3 ∴8－n＝－1，即n＝9。 解法二：∵a4＋a7＝a1·q(1＋q)＝18且a3＋a6＝a1·q·(1＋q)＝36， 1 ∴q＝，a1＝128。 2又∵an＝a1·qn－1 ?1?n－18－n1－17 ＝2·??＝2＝＝2， 2?2? ∴8－n＝－1，即n＝9。 (2)∵a2·a8＝a3·a7＝36且a3＋a7＝15， ∴a3＝3，a7＝12或a3＝12，a7＝3。 1244 ∵q＝4或q＝，∴q＝±2或q＝±。 42(3)∵S8＝ a1[1－－2 1＋2 8 ]a1 ＝ －151＋2 ＝15(1－2)， ∴a1＝－(1－2)·(1＋2)＝1。 【答案】 (1)9 (2)±2或± 2 (3)1 2 2019年 反思归纳 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式，并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比的取值情况进行分类讨论，此外在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算。 【变式训练】 (1)(2016·武汉调研)若等比数列{an}的各项均为正数，a1＋2a2＝3，a3＝4a2a6，则a4＝( ) 3 A. 8C.3 16 B.D.24 59 16 2 (2)(2016·海口调研)设Sn为等比数列{an}的前n项和，a2－8a5＝0，则的值为( ) 1A. 2C．2 【解析】 (1)由题意，得 B.17 16 S8S4 D．17 a1＋2a1q＝3，??225 ?a1q＝4a1q·a1q，??q>0， 3 a＝，??2解得?1 q＝??2， 1 3?1?333 所以a4＝a1q＝×??＝。故选C。 2?2?16 a5311 (2)∵a2－8a5＝0，∴＝q＝，∴q＝。 a282 ∴＝ S8a5＋a6＋a7＋a8 ＋1 S4a1＋a2＋a3＋a4 ＝ ?1?4a＋a＋a＋a?2?1234?? a1＋a2＋a3＋a4 17 ＋1＝。故选B。 16 【答案】 (1)C (2)B 考点二 等比数列的判定与证明…………母题发散 【典例2】 (1)对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是( ) A．a1，a3，a9成等比数列 B．a2，a3，a6成等比数列 C．a2，a4，a8成等比数列 D．a3，a6，a9成等比数列 (2)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N)，若bn＝an＋1－2an，求证：{bn}是等比数列。 【解析】 (1)由等比数列的性质得，a3·a9＝a6≠0，因此a3，a6，a9一定成等比数列，故选D。 (2)证明：∵an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2＝4an＋1－4an， 2 *
2020高考数学大一轮复习第五章数列第三节等比数列教师用书理
