微 分 学
1、 极限概念与性质，求极限
知识点：理解极性的四个性质（特别是保号性）；夹逼准则；单调有界数列必有极限准则；极限的四则运算，变量替换，无穷小的性质（有界函数与无穷小的乘积是无穷小），等价无穷小代换（常用公式），两个重要极限，洛必达法则，导数定义求极限，积分定义求极限。 例1：（17级）设lim(1?
x??
5kx
)?e10，则常数k? (答2)； 求极限lim?xx?0
?0
x
uex?udux
3
.
2x
1tanx?x2?1?x?
例2：（16级）极限lim?； 求极限 lim2.（答） ?= . （答e）3x??x?0xsinx?x?
?x?1?例3：（15级）极限lim??
x??x?1??
2x
4
? .（ 答e） 求极限lim
x?0
1x?sinx
?.（答）
xln(1?x2)6
1
)例4：（14级）．lim(1?
x??2x
2x?4
x
= . （答1）
?sinx?x2求极限lim??.
x?0x??
1
sinx?x?x2?sinx?x?解：lim???lim?1?? （重要公式，洛比达）
x?0x?0x?x???
211
?
sinx?x??
?lim??1??x?0?x???
xsinx?x
????
sinx?xx
3
?ex?0
lim
sinx?xx
3
?e
1?x3lim63x?0x
?e
?
16
arctanx?x1
? 例5：(13级) 求极限lim.（答）
x?0ln(1?2x3)6
1?11?
???补充1 lim???? （答2） x?0xln(1?x)??
xcos(2sin2)?exsinx?x(1?x)??42?补充2：18年期中试卷题：1、lim[x?]；求极限 lim?2x?（答案见解答） x?0x?0?x4x(e?1)??
补充3：设f(x)?lim(1?sint)
t?0
2x
sint
，则f?(x)? 答：（2e）
2x
补充4：课后相关内容与习题练习
2、无穷小概念与性质，无穷小比较：等价无穷小、高阶无穷小、同阶无穷小、k阶无穷小
例1：（17级）若当x?0时，
f(x)是关于x3的高阶无穷小，则lim
x?0
f(x)
? （ ）．
xsin2x
(A) 1 (B) 0 (C) 2 (D) ?（答：B）（红色为正确选项，后面类似）
2xnn
例2：（16级）设当x?0 时，(1?cosx)ln(1?x)是比xsinx高阶的无穷小，而xsinx是比(e?1)高阶的
2
无穷小，则正整数n等于（ ）.
A.1 B. 2 C．3 D. 4
例3：(14级)．当x?0时，f(x)?1?cosx，g(x)?xln(1?ax)是等价无穷小，则a? .（答?补充1：设x?0时，函数1?kx?1与cos2x?1为等价无穷小，则k?( ).
32
1
） 2
（A）
32
（B） ? （C）2 （D）?6 23
2
补充2：期中：当x?0时，若y?ex?ax2?bx?1是比x高阶的无穷小，则：（ ）。
(A) a?
1,b?1 (B) b?1,a?1 (C) a??1,b??1 (D) b??1,a??1 2222补充3：设?(x)?
?
sinx
0
(1?t)dt，?(x)??
1
t
x
0
sint
dt，则当x?0时，?(x)是?(x)的（ ） t
A、低阶无穷小 B、高阶无穷小 C、同阶但不等价无穷小 D、等价无穷小 补充4：课后相关内容与习题练习
3．连续与间断（连续的定义，第一类间断点（可去与跳跃间断点）第二类间断点（无穷与振荡间断点）。
?cosx?1,
?
x2例1：（17级）设函数f(x)??x?,?e?a
(A)
x?0x?0
在x?0处连续，则常数a?( ).
1133 (B) ? (C) (D) ? 2222sinx
（17级）函数f(x)?的无穷间断点的个数为（ ）.
x(x?1)(x??)(A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1
1sinax?
,x?0?xsin?
例2：（16级）设函数f(x)?? ，要使f(x)在x?0连续,则 a?（ ）（答a??1 xx
x?x?0?e?2,
1?xsin,x?0?x?
例3：（15级）．设函数f(x)??在x?0处连续，则常数a? [ ]
?a?x2?ex
x?0
??
（A） 0 （B）1 （C） 2 （D） e.
x?x3
（15级）函数f(x)?的可去间断点的个数为（ ）.
sin?x
A 1； B 2； C 3； D 无穷多个（x?0,1,?1为可去间断点）
k
?
?(1?x)x,?
例4：（14级）设函数f(x)??
x?0
在x?0处连续，则常数k?( ).
??ln(1?x2)?e3?
x?0
A 3 B e3 C ln5 D ln3
1补充1：设函数f(x)?
1?e
x1，则x?0是f(x)的( ).
3?2e
x
（A）跳跃间断点 （B）可去间断点 （C）无穷间断点 （D）振荡间断点 x补充2：设函数f(x)?e
1?x
，x?1为第 类间断点。（答：第二类） ?sin3x
补充3：设函数f(x)??
?,?1?x?0
?ln(1?x)
在x?0处连续，则常数a?( ).
?asecx?1,
x?0
（A） 0 （B） 1 （C） 2 （D） 3 补充4：设f(x)?
(x?1)sinx
(x2?1)x
，那么x?0是函数的（ ）
（A）无穷间断点 （B）第二类间断点 （C）跳跃间断点 （D）可去间断点 补充5：课后相关内容与练习（第一章总习题相关内容题）
4．导数定义（用导数定义求极限、导数几何意义）
例1：（16级）．设f(x)可导, 则 lim
f(2?2x)?f(2)
x?0
x = （ ）.
A.
f?(2) B. ?f?(2) C．2f?(2) D. ?2f?(2)
例2.（13级）设函数y?f(x)在点(1,1)处的切线斜率为?1 ，则极限lim
f(1)?f(1?3x)
x?0
x
?( )补充1：设 f'(x0)存在，极限 lim
f(x0?h)?f(x0?h)
h?0
h
?（
）。
A．
f'(x0)
2
B. 2f'(x0) C．f'(x0) D. 0
补充2：期中：设f(x)可导，则：22
limf(x??x)?f(x)?x? 答：2f(x)?f?(x)
?x?0补充3：课后P83：习题6、7、8
5．求导数与微分（导数四则运算、反函数求导、复习函数求导，牢记求导公式）
例1：（17级）设y?ln3x2?1，则dy? . 答：3x
3x2?1
dx .答?3
cosxf?(sinx)
dx 例2：（16级）. 设y?lnf(sinx)，则dy? . 答：
f(sinx)
例3：(15级) 设y?lnf(2x)，则dy? . 答：例4：（14级）设y?f(lnx)，且f'(u)?u2?2，则dy
2f'(2x)
dx
f(2x)
x?1
? 答2dx.
2
补充1：设f(u)为可导函数，且f(x)?sinx，则f'(x)? 。答2xcosx 补充2：期中：y?f(3
2
2x2
)，则：dy? （ ）
2
A． f?(32x)d?2x2? B． f?(32x)ln3dx C． f?(32x)32xln3?d?2x2? D． f?(3secx)32xln3dx
2
2
2
补充3：（高数A17级）设0?x?1，则d(补充4：课后相关内容与练习
)?(
1
?)d(x2) （答：arcsinx2?2x?C）
1?x4x
1
课后相关习题练习
6．隐函数求导、参数方程求导（一阶、二阶）、导数的几何意义（求切线方程与法线方程）幂指函数求导
?x?3t2例1：（17级）由参数方程?所确定的函数在t?1对应点处的切线方程为 ． 3
?y?3t?t
（17级）设由方程x例2：（16级）．曲线?
3
?y3?3x?3y?2?0所确定的隐函数为y?f(x)，求y??(?1).
?x?sint? 在t?处的切线方程为 ( ).
4?y?cos2t
A．22x?y?2?0 B. 22x?y?2?0 C．2x?y?2?0 D. 2x?y?2?0 （16级）已知函数y?y(x)由方程e
y
?6xy?x2?1?0所确定，求y\.（答y\??2）
?x?e?2tdy
例3：（15级）设函数y?f(x)由参数方程?确定，则 |t?0? . 答?2
dxy?sin4t?
（15级）设函数y?f(x)由方程
?
y
0
edt??
tx
x
0
d2y
costdt?0所确定，求2
dx
x?0
.
解：显然，x?0时，y?0. 对
?
y
0
etdt??costdt?0两边同时对x求导，有
0
ey
dy
?cosx?0 (1) dx
将x?0时，y?0代入式，得
dy
|x?0??1. dx
对（1）两边同时再对x求导，得
2
dy2ydy e()?e?sinx?0， 2dxdxy
d2ydyx?0时，y?0，|x?0??1代入上式，解得2
dxdx
x?0
??1.
例4：（14级）设函数y?f(x)由方程xy?2lny?y4所确定，则曲线y?f(x)在点(1,1)处的切线方程为
A y?x?1 B y?x C y??x?1 D y??x
（14级） y?f(x)是由方程e
y
?xy?ex?0所确定的隐函数，求y??(0).（ 答y??(0)??2）
d2y1?t?x?t2?2t
补充1：设函数y?y(x)由参数方程?所确定，求2.（答） 4
y?t?ln(1?t)4(1?t)dx?
补充2：课后相关内容与习题练习：P109：3,4，7；P124：12（必须会求参数方程的一阶、二阶导数，隐函数的
一阶、二阶导数，注意步骤）
7．函数的单调与极值（单调判断，极值概念，必要条件，第一、第二充分条件）；凹凸与拐点（求凹凸区间与拐点）
例1：（17级）求曲线y?
lnx
的凹凸区间及拐点（注意步骤） x解: 函数的定义域为(0,??),
3
1?lnx?3?2lnxy??, y???, 令y???0, 得x?e2, 23
xx
3
2
32
当0?x?e时, y???0, 当x?e时, y???0.（画图表表示）
?3所以曲线的凸区间为(0,e)，凹区间为(e,??)，拐点为(e,e2). 22243x凹凸区间和拐点. 例2：（16级）求曲线y?x?9
3232323
答：凸区间(??,?1),(1,??),凹区间(?1,1)，拐点(?1,)，(1,) 例3：(15级)求函数y?x3?3x2?9x?1的单调区间与凹凸区间及拐点坐标.
答：单调减少[?1,3]，单调增加(??,?1]和[3,??)；凸区间(??,1)，凹区间(1,??)，拐点(1,?10) 例4：（14级） 求函数f(x)?x2?4x?4ln(x?1)的极值.
答：函数的极大值为f(0)?1，极小值为f(1)?4ln2?3
7
979
18--19--1高数B微分学复习参考
