2.1.2 椭圆的简单几何性质(一)
[学习目标] 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，利用曲线的方程研究它的性质，并能画出图象.
知识点一 椭圆的简单几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 范围 顶点 轴长 焦点 焦距 对称性 离心率
知识点二 离心率的作用
当椭圆的离心率越接近1，则椭圆越扁；当椭圆离心率越接近0，则椭圆越接近于圆.
x2y2＋＝1(a>b>0) a2b2－a≤x≤a，－b≤y≤b A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) y2x2＋＝1(a>b>0) a2b2－b≤x≤b，－a≤y≤a A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0) 短轴长＝2b，长轴长＝2a (±a2－b2，0) (0，±a2－b2) |F1F2|＝2a2－b2 对称轴：x轴、y轴 对称中心：原点 ce＝∈(0,1) a
题型一 椭圆的简单几何性质
例1 求椭圆25x2＋y2＝25的长轴和短轴的长及焦点和顶点坐标.
y2
解 把已知方程化成标准方程为＋x2＝1，
25则a＝5，b＝1.
所以c＝25－1＝26，
因此，椭圆的长轴长2a＝10，短轴长2b＝2， 两个焦点分别是F1(0，－26)，F2(0,26)，
椭圆的四个顶点分别是A1(0，－5)，A2(0,5)，B1(－1,0)，B2(1,0).
反思与感悟 解决此类问题的方法是先将所给方程化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义，就可以得到椭圆相应的几何性质.
跟踪训练1 求椭圆m2x2＋4m2y2＝1 (m>0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率. 解 椭圆的方程m2x2＋4m2y2＝1 (m>0)可转化为 x2y2
＋＝1. 11m24m21111
∵m2<4m2，∴2>2，∴椭圆的焦点在x轴上，并且长半轴长a＝，短半轴长b＝，半
m4mm2m3
焦距长c＝. 2m
21
∴椭圆的长轴长2a＝，短轴长2b＝，
mm33
焦点坐标为(－，0)，(，0)，
2m2m
1111
顶点坐标为(，0)，(－，0)，(0，－)，(0，).
mm2m2m3c2m3
离心率e＝＝＝.
a12
m
题型二 由椭圆的几何性质求方程
例2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程.
1
(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，其离心率为，焦距为8；
22
(2)已知椭圆的离心率为e＝，短轴长为85.
3解 (1)由题意知，2c＝8，c＝4， c41
∴e＝＝＝，∴a＝8，
aa2
从而b2＝a2－c2＝48，
y2x2
∴椭圆的标准方程是＋＝1.
6448c22
(2)由e＝＝，得c＝a，
a33
又2b＝85，a2＝b2＋c2，所以a2＝144，b2＝80， x2y2x2y2
所以椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
1448080144
反思与感悟 在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式；若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论，然后列方程(组)确定a，b，这就是我们常用的待定系数法.
跟踪训练2 椭圆过点(3,0)，离心率e＝解 ∵所求椭圆的方程为标准方程，
又椭圆过点(3,0)，∴点(3,0)为椭圆的一个顶点.
①当椭圆的焦点在x轴上时，(3,0)为右顶点，则a＝3， c666
∵e＝＝，∴c＝a＝×3＝6，
a333∴b2＝a2－c2＝32－(6)2＝9－6＝3， x2y2
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
93
②当椭圆的焦点在y轴上时，(3,0)为右顶点，则b＝3， c66∵e＝＝，∴c＝a，
a3321
∴b2＝a2－c2＝a2－a2＝a2，
33∴a2＝3b2＝27，
y2x2
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
279
x2y2y2x2
综上可知，椭圆的标准方程是＋＝1或＋＝1.
93279题型三 求椭圆的离心率
例3 如图所示，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上的点M的横坐标等于右焦点的横2
坐标，其纵坐标等于短半轴长的，求椭圆的离心率.
3
6
，求椭圆的标准方程. 3
解 设椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距长分别为a，b，c. 2
则焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)，M点的坐标为(c，b)，
3且△MF1F2为直角三角形.
在Rt△MF1F2中，|F1F2|2＋|MF2|2＝|MF1|2， 4
即4c2＋b2＝|MF1|2.
9而|MF1|＋|MF2|＝
42
4c2＋b2＋b＝2a，
93
整理得3c2＝3a2－2ab. 又c2＝a2－b2，所以3b＝2a. b24
所以2＝. a9
22
c2a－bb255
所以e＝2＝2＝1－2＝，所以e＝.
aaa93
2
反思与感悟 求椭圆离心率的方法： c
(1)直接求出a和c，再求e＝，也可利用e＝
a
b21－2求解. a
c
(2)若a和c不能直接求出，则看是否可利用条件得到a和c的齐次等式关系，然后整理成的a形式，并将其视为整体，就变成了关于离心率e的方程，进而求解.
跟踪训练3 已知椭圆C以坐标轴为对称轴，长轴长是短轴长的5倍，且经过点A(5,0)，求椭圆C的离心率. 解 若焦点在x轴上，得 2a＝5×2b，??a＝5，???250解得?
?b＝1，???a2＋b2＝1，
∴c＝a2－b2＝52－12＝26， c26
∴e＝＝. a5
2a＝5×2b，??
若焦点在y轴上，得?025
＋＝1，22??ab
??a＝25，解得?∴c＝a2－b2＝252－52＝106，
?b＝5，?
c10626∴e＝＝＝.
a25526故椭圆C的离心率为.
5
椭圆离心率的求法
椭圆离心率的三种求法：
求椭圆的离心率一般运用直接法、定义法、方程法求解.
c
(1)求椭圆的离心率时，若不能直接求得的值，通常由已知寻求a，b，c的关系式，再与a2
a＝b2＋c2组成方程组，消去b得只含a，c的方程，再化成关于e的方程求解.
c
(2)若给定椭圆的方程，则根据焦点位置确定a2，b2，求a，c的值，利用公式e＝直接求解.
a(3)求离心率时要充分利用题设条件中的几何特征构建方程求解，从而达到简化运算的目的. 涉及椭圆离心率的范围问题要依据题设条件首先构建关于a，b，c的不等式，消去b后，转化为关于e的不等式，从而求出e的取值范围.
b?x2y2
例4 若椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被点??2，0?分成5∶3ab的两段，则此椭圆的离心率为( ) 16417425A. B. C. D. 171755b
c＋25
解析 依题意，得＝，
b3c－2∴c＝2b，∴a＝b2＋c2＝5b，∴e＝答案 D
点评 本题的解法是直接利用题目中的等量关系，列出条件求离心率.
x2y2
例5 设P是椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)上的一点，F1，F2是其左，右焦点.已知∠F1PF2＝60°，
ab求椭圆离心率的取值范围.
分析 本题主要考查椭圆离心率取值范围的求法，建立不等关系是解答此类问题的关键. 解 方法一 根据椭圆的定义，有|PF1|＋|PF2|＝2a.①
2b25＝. 55b
2018版高中数学人教版A版选修1-1学案：2.1.2 椭圆的简单几何性质（一）[001]完美版
