什么条件？
【答案】p是q的充分不必要条件 【解析】 【分析】
通过解不等式可以确定集合A、B的范围，从而可以求出p、q范围，因为p是q的一个真子集，所以p是q的充分不必要条件。
【详解】解：由3x?4?2，即3x?4?2或3x?4??2， 得x?2或x?2， 32即p：≤x≤2，
3由
1?0，得x2?x?2?0， 2x?x?2得x?2或x??1， 即q：?1?x?2， 则p是q的充分不必要条件;
【点睛】本题主要考查了绝对值不等式和一元二次不等式的解法，以及集合的补集运算，还有充分条件和必要条件的判断。
18.某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．
?1?设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率； ?2?设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期
望． 【答案】（1）【解析】 【分析】
（1）可根据题意分别计算出“从10人中选出2人”以及“2人参加义工活动的次数之和为4”的所有可能情况数目，然后通过概率计算公式即可得出结果；
1 ； （2）E(X)?1. 3 - 11 -
（2）由题意知随机变量X的所有可能取值，然后计算出每一个可能取值所对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值．
11C3?C4?C321?， 【详解】（1）由已知有P(A)?2C103所以事件A的发生的概率为
1； 3（2）随机变量X的所有可能的取值为0，1，2；
C32?C32?C424C3?C3?C3?C47P(X?0)??P(X?1)??； ；2215C10C101511C3?C44P(X?2)??； 2C10151111所以随机变量X的分布列为：
X P
0 1 2 4 157 154 15数学期望为EX=0?()4741?2?1. 151515【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，能否正确计算出每一个随机变量所对应的的概率是解决本题的关键，考查推理能力，是中档题。
19.已知抛物线C:y?2px?p?0?过点M?1,?2?，且焦点为F，直线l与抛物线相交于A，
2B两点．
⑴求抛物线C的方程，并求其准线方程；
⑵O为坐标原点.若OA?OB??4，证明直线l必过一定点，并求出该定点．
【答案】（1）抛物线C的方程为y?4x，其准线方程为x??1（2）直线l必过一定点?2,0?，
2uuuruuur详见解析 【解析】 【分析】
（1）点M代入抛物线方程，可得P，即可求出抛物线方程及其准线方程；
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（2）直线l的方程为x?ty?b代入y?4x,得y?4ty?4b?0，利用韦达定理结合
22uuuruuurOA?OB??4，求出b，即可证明直线l 必过一定点，并求出该定点。
22【详解】解：?1?将(1,?2)代入y?2px，得2?2p，所以p?2，故抛物线C的方程为
y2?4x，
其准线方程为x??1。
?2?设直线l的方程为x?ty?b代入y2?4x，得y2?4ty?4b?0，
设A?x1,y1?，B?x2,y2?， 则y1?y2?4t，y1y2??4b，
uuuvuuuv222OA·OB＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋1)(ty2＋1)＋y1y2＝－4bt＋4bt＋b－4b＝－4， ?b?2，所以直线方程为x?ty?2，必过一定点?2,0?．
【点睛】本题主要考查抛物线的方程及准线方程，以及直线过定点的问题，意在考查学生的逻辑思维能力、化归与转化能力、运算求解能力，以及设而不求思想。
20.已知函数f?x??2x?a?x?2 a⑴当a?2时，解不等式f?x??1； ⑵求函数g?x??f?x??f??x?的最小值． 【答案】（1）不等式f?x??1【解析】 【分析】
（1）利用零点分段法将不等式分为三段，然后分别求解，最后取它们的并集即可； （2）根据绝对值三角不等式和均值不等式逐步推理，可以得到最小值。 【详解】解：?1?当a?2时，2x?2?x?1?1， 当x??1时，2?2x?x?1?1，得x?0，即有x??1， 当?1?x?1时，2?2x?x?1?1，得x?2，即有?1?x?1，
解集为R（2）42 - 13 -
当x?1时，2x?2?x?1?1，得x?2，即有x?1， 3综上，不等式f?x??1的解集为R．
?2?g?x??f?x??f??x???2x?a?2x?a?x?2x?a?x?22??2x?a??x? aa22?x? aa2??2?4???2x?a???2x?a???x????x???2a?
a??a?a??22a4?42， a??2??2?4x??02a?且时取“?” ???a??a?a当且仅当?2x?a??2x?a??0，?x?函数g?x?的最小值为42．
【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式和均值不等式的应用。考查考生的逻辑推理能力及运算求解能力。
13x2y221.已知椭圆E:2?2?1(a?b?0)的离心率为，且过点P(1,)，直线l:y?kx?m交
22ab椭圆E于不同的两点A,B，设线段AB的中点为M．
（1）求椭圆E的方程； （2）当?AOB的面积为
3（其中O为坐标原点）且4k2?4m2?3?0时，试问：在坐标平2面上是否存在两个定点C,D，使得当直线l运动时，MC?MD为定值？若存在，求出点
C,D的坐标和定值；若不存在，请说明理由．
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x2y23333【答案】（1）?（2）存在点C(??1；,0)，D(,0)或D(?,0)，C(,0)，
432222使得MC?MD为定值23． 【解析】
试题分析：（1）求椭圆标准方程，由于已知离心率为
1，这样可得a?2c，从而可得2x2y2??，再把椭圆上点P的坐标代入可解得?，a:b?2:3，从而可设可椭圆方程为?43得椭圆方程；
（2）由题设结论可知中点M的坐标适合一个椭圆方程，即点M在椭圆上，那么题中要求的定点就是椭圆的焦点．实质上从问题出发，就让我们想到点M应该在某个椭圆上．因此从这方面入手，就要求M的轨迹方程，因此我们从已知出发先找出参数k,m的关系，再求出弦中点M的坐标（用k,m表示），然后消去参数k,m可得．
y?kx?m具体方法：由直线l方程y?kx?m，与椭圆方程联立方程组{x2，消去y后得x的y2??143一元二次方程：(3?4k)x?8kmx?4m?12?0，已知4k2?m2?3?0保证??0，即直线与椭圆一定相交，设A(x1,y1),B(x2,y2)，可得x1?x2,x1x2，于是有y1?y2，从而点M的坐标，由直线圆锥曲线相交弦长公式可得弦AB长，由点到直线距离公式可得原点点O到直
233(4k?3)2k,m满足的关系：m?线l的距离为d?，利用的面积为可得， ?AOB2241?k222m试题解析：（1）由于椭圆的离心率为
1，则a2:b2:c2?4:3:1，故椭圆E：2x2y2???(??0) 43313x2y2又椭圆过点P(1,)，从而????1，从而椭圆E的方程为??1．
44243（2）当直线l的斜率存在时，设其方程为y?kx?m，并设A(x1,y1),B(x2,y2)，联立方程
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湖北省2020-2021学年高二数学下学期期末考试试题理(含解析)
