高一(上)期中数学试卷
题号 得分 一
一、选择题(本大题共4小题,共12.0分) 1. 下列命题中,正确的是( )
二 三 总分 A. ??+??的最小值是4
B. √??2+4+√??2+4的最小值是2
C. 如果??>??,??>??,那么????????? D. 如果????2>????2,那么??>??
2. 设p:0?<5,q:|???2|<3,那么p是q的( )条件.
14
A. 充分不必要 C. 充要
B. 必要不充分 D. 既不充分也不必要
3. 非空集合A、B满足,??∩??=?,??={??|?????},??={??|?????},则下列关系一
定成立的是( )
A. ??∪??=??∪?? B. ??∩??=? C. ??∩??={?} D. ??∪?????∪??
4. 已知函数??=??(??+1)为偶函数,则下列关系一定成立的是( )
A. ??(??)=??(???) C. ??(??+1)=??(????1)
二、填空题(本大题共12小题,共36.0分) 5. 函数??=√??的定义域为______.
1B. ??(??+1)=??(???+1) D. ??(???+1)=??(??)
6. 已知??={??|?1?<2},{??|??2?3??<0,??∈??},则??∩??=______. 7. 当??>0时,函数??(??)=??+???1的值域为______.
??∈??},??={?3,3,8. 设??={??|?5≤??2或2?≤5,??={??|??2?2???15=0},
4},则??∩?????=______.
9. 已知集合??={?2,1},??={??|????=2},若??∪??=??,则实数a值集合为______. 10. 满足条件{1,3,5}∪??∪{3,5,7}={1,3,5,7,9}的所有集合A的个数是______
个. 11. 已知不等式
??2+2????+2??
3???,且2∈??,则实数a的取值范围是______. ≤0的解集为A,
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12. 若函数??(??)=√??2?1+√?????2为偶函数且非奇函数,则实数a的取值范围为
______ .
13. 已知a、b是常数,且????≠0,若函数??(??)=????3+????√1???2+3的最大值为10,
则??(??)的最小值为______.
14. 设正实数a、b满足3??+????+??=24,那么????的最小值为______.
(?????)2,??≤0
15. 已知函数??(??)={,且??(0)为??(??)的最小值,则实数a的取值范围4
??++3??,??>0
??
1
是______.
16. 若方程????2?(4???2)??+2=0在(0,2)内恰有一解,则实数a的取值范围为______. 三、解答题(本大题共5小题,共60.0分) 17. 己知集合??={??|
(1)求集合A;
(2)若??∩(?????)=??,求实数a的取值范围.
18. 己知函数??(??)=|?????|+|??+??|.
(1)若??=1,??=2,求不等式??(??)≤5的解;
(2)对任意??>0,??>0,试确定函数??=??(??)的最小值??(用含a,b的代数式表示),若正数a、b满足??+4??=2????,则a、b分别取何值时,M有最小值,并求出此最小值.
2???1??+1
≤1,??∈??},集合??={??|??2?2????+??2?1≤0,??∈??}.
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19. 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热
层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用??(单位:万元)与隔热层厚度??(单位:????)满足关系:??(??)=3??+5(0≤??≤10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元.设??(??)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. (Ⅰ)求k的值及??(??)的表达式.
(Ⅱ)隔热层修建多厚时,总费用??(??)达到最小,并求最小值.
20. 已知函数??(??)=
|?????|????
(??>0),且满足??(2)=1.
1
(1)判断函数??(??)在(1,+∞)上的单调性,并用定义证明; (2)设函数??(??)=
??(??)??
,求??(??)在区间[2,4]上的最大值;
1
(3)若存在实数m,使得关于x的方程2(?????)2???|?????|+2????2=0恰有4个不同的正根,求实数m的取值范围.
21. 已知函数??(??)=????+3,??(??)=??2+2??+??.
(1)求证:函数??(??)???(??)必有零点; (2)设函数??(??)=??(??)???(??)?1.
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①若|??(??)|在[?1,0]上是减函数,求实数m的取值范围;
b,以及实数m,使得不等式??≤??(??)≤??的解集恰好是[??,??]?②是否存在整数a、
若存在,求出a、b的值,若不存在,请说明理由.
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答案和解析
1.【答案】D
【解析】 【分析】
本题考查了基本不等式的性质、不等式的基本性质,属于基础题. 根据基本不等式和不等式性质对选项逐一判断即可. 【解答】
解:对于A,当??<0时,??+??的最大值是?4,故A不正确;
对于B,√??2+4+√??2+4>2,等号不成立,最小值不为2,故B不正确; 对于C,??>??,??>??,那么??+??>??+??即?????>?????,故C不正确; 对于D,∵????2>????2,∴??2>0,∴??>??,故D正确. 故选D.
14
2.【答案】A
【解析】解:由|???2|<3,得:?3??2<3,即?1?<5,即q:?1?<5, 故p是q的充分不必要条件, 故选:A.
根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据不等式的性质是解决本题的关键.
3.【答案】B
【解析】 【分析】
此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.
由??∩??=?得A与B无公共元素,而P、Q分别是由集合A的子集、集合B的真子集构成的集合,空集是任何非空集合的真子集. 【解答】
解:∵??∩??=?,
∴??与B没有任何公共元素,
∵??={??|?????},??={??|?????},?是任何集合的子集,任何非空集合的真子集,
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2020年上海市交大附中高一(上)期中数学试卷
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