一元二次方程的概念及其解法

由天下分享时间：2024/9/14 3:19:21 加入收藏我要投稿点赞

一元二次方程的概念及解法和讲义

知识点一：一元二次方程的概念 (1)定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是，这样的整式方程就．．．．．．．．．．．．．．．．．2．．．．．是一元二次方程。

(2)一般表达式：ax2?bx?c?0(a?0)

(3)四个特点：

(1)只含有一个未知数；

(2)且未知数次数最高次数是2；

(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，假设是，再对它进行整理．如果能整理为ax2?bx?c?0(a?0)的形式，则这个方程就为一元二次方程．

〔4〕将方程化为一般形式：ax2?bx?c?0时，应满足〔a≠0〕

例1：以下方程①x2+1=0；②2y(3y-5)=6y2+4；③ax2+bx+c=0 ；④?5x?3?0，其中是一元二次方程的有。

y21222?1 ②2x?5xy?y?0 ③7x?1?0 ④?0中一元变式:方程：①2x?3x221x二次程的是。

例2：一元二次方程(1?3x)(x?3)?2x2?1化为一般形式为：，二次项系数为：，一次项系数为：，常数项为：。

变式1：一元二次方程3〔x—2〕2＝5x－1的一般形式是，二次项系数是，一次项系数是，常数项是。

变式2：有一个一元二次方程，未知数为y，二次项的系数为－1，一次项的系数为3，常数项为－6，请你写出它的一般形式______________。

例3：在关于x的方程(m-5)xm-7+(m+3)x-3=0中:当m=_____时，它是一元二次方程；当m=_____时，它是一元一次方程。

变式1：已知关于x的方程(m+1)x2－mx+1=0，它是〔〕 A．一元二次方程 B．一元一次方程 C．一元一次方程或一元二次方程 D．以上答案都不对变式2：当m 时，关于x的方程(m?3)xm2?7?x?5是一元二次方程

知识点二：一元二次方程的解

（1）概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。（2）应用：利用根的概念求代数式的值；【典型例题】

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1. 已知x?2是一元二次方程x2?mx?2?0的一个解，则m的值是〔〕 A．?3

B．3

C．0

D．0或3

2. 已知2y2?y?3的值为2，则4y2?2y?1的值为。 3. 假设x=a是方程x2-x-2015=0的根，则代数式2a2-2a-2015值为。

4. 关于x的一元二次方程?a?2?x2?x?a2?4?0的一个根为0，则a的值为。

5. 已知关于x的一元二次方程ax2?bx?c?0?a?0?的系数满足a?b?c?0，则此方程必有一根为。

【举一反三】

1. 已知关于x的方程x2?kx?6?0的一个根为x?3，则实数k的值为〔〕 A．1 B．?1 C．2 D．?2 2. 假设m2-5m+2=0，则2m2-10m+2016= 。 3. 假设关于x的方程〔a+3〕x2-2x+a2-9=0有一个根为0，则a= 。 4. 一元二次方程ax2+bx+c=0，假设4a-2b+c=0，则它的一个根是。 5. 假设x=1是关于x的一元二次方程ax2?bx?c?0?a?0?一个根,求代数式2007(a+b+c)的值

知识点三：解一元二次方程

一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.

一：直接开平方法

利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如(x?m)2?n的一元二次方程。根据平方根的定义可知，x?m是n的平方根，当n?0时，x?m??n，x??m?n，当n<0时，方程没有实数根。用直接开平方法解一元二次方程的理论根据是平方根的定义，到达降次转化之目的。

（1）形如x?p(p?0)的方程的解是x=?p。当p=0时，x1?x2?0

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2（2）形如

?mx?n?2?p?p?0?的方程的解为x=2?p?n。 m2形如m?x?a??n?0的方程可先化成?x?a???n的形式，再用直接开m平方法解。

【例题讲解】

1、方程〔x-2〕2=9的解是〔〕

A．x1=5，x2=-1 B．x1=-5，x2=1 C．x1=11，x2=-7 D．x1=-11，x2=7

2、假设方程x2=m的解是有理数，则实数m不能取以下四个数中的〔〕

11A．1 B．4 C． D．

423、对于形如

x2?p的一元二次方程，能直接开平方的条件是

___________________。