2019极坐标与参数方程高考题型全归纳
一.题型部分
方程的转化
1. 极坐标与直角坐标互化公式：
(一) 极坐标与直角坐标的转化、参数方程与普通方程的转化,极坐标与参数
若以直角坐标系的原点为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，点P的极坐标为(?,?)，直角坐标为(x,y)，则x??cos?, y??sin?, ?2?x2?y2,
tan??yx。
2. 参数方程：
x?x直线参数方程：??0?tcos??y?y0?tsin?(x0,y0) 为直线上的定点， t为直线上任(t为参数)一点(x,y)到定点(x0,y0)的数量；
圆锥曲线参数方程：
x?a?rcos?圆的参数方程：?(?为参数)(a,b)为圆心，r为半径； ??y?b?rsin?椭圆xy2?x?acos?的参数方程是??1(?为参数)； ?22ab?y?bsin?2x2y2x?asec?双曲线2-2?1的参数方程是?(?为参数)； ?ab?y?btan?x?2pt抛物线y2?2px的参数方程是??2?y?2pt(t为参数)
(二)有关圆的题型
题型一：圆与直线的位置关系（圆与直线的交点个数问题）----利用圆心到直线的距离与半径比较
d?r:相离，无交点；d?r:相切，1个交点；d?r:相交，2个交点；
用圆心（x0,y0）到直线Ax+By+C=0的距离d?比较。
Ax0?By0?CA?B22，算出d，在与半径
题型二：圆上的点到直线的最值问题（不求该点坐标，如果求该点坐标请参照距离最值求法）
思路：第一步：利用圆心（x0,y0）到直线Ax+By+C=0的距离d? 第二步：判断直线与圆的位置关系
第三步：相离：代入公式：dmax?d?r，dmin?d?r 相切、相交：dmax?d?rdmin?0
题型三：直线与圆的弦长问题 弦长公式l?2r2?d2Ax0?By0?CA?B22
，d是圆心到直线的距离
延伸：直线与圆锥曲线（包括圆、椭圆、双曲线、抛物线）的弦长问题 （弦长：直线与曲线相交两点，这两点之间的距离就是弦长） 弦长公式l?t1?t2,解法参考“直线参数方程的几何意义” (三）距离的最值： ---用“参数法” 1.曲线上的点到直线距离的最值问题 2.点与点的最值问题
“参数法”：设点---套公式--三角辅助角
①设点： 设点的坐标，点的坐标用该点在所在曲线的的参数方程来设 ②套公式：利用点到线的距离公式
③辅助角：利用三角函数辅助角公式进行化一
?x?例如：在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为??13cos?(?为参数)，以坐标原
y?sin???点为极点，以x轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为?sin(???)?22．
4（I）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
（II）设点P在C上，点Q在C2上，求PQ的最小值及此时P的直角坐标
1x2Ⅰ）C1的普通方程为?y2?1，
3C2的直角坐标方程为x?y?4?0.
x?（解说：C1：??3cosα利用三角消元：移项-化同-平方-相加 ?y?sinα这里没有加减移项省去，直接化同，那系数除到左边
?x2?x2?cosαx2???cosα?两边同时平方?两道式子相加?y2?1?3?33?y?sinα?y2?sin2a?? （Ⅱ）由题意，可设点P的直角坐标为(3cos?,sin?)
（解说：点直接用该点的曲线方程的参数方程来表示） 因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(?)的最小值，
d(?)?|3cos??sin??4|??2|sin(??)?2|.
32解说：利用点到直线的距离列式子，然后就是三角函数的辅助公式进行化一）
?当sin（???）?1时即当??2k??(k?Z)时，d(?)取得最小值，最小值为362，此时
31P的直角坐标为(,).
22（四）直线参数方程的几何意义 1.经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l?x?x0?tcos?(t为参数）的参数方程为?若
y?y?tsin?0?A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，
点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到： (1)t0=（5）
t1＋t2
2
；(2)|PM|=|t0|=
t1＋t2
2
；(3)|AB|=|t2－t1|；(4)|PA|·|PB|=|t1·t2|
2??t1?t2?(t1?t2)?4t1t2,当t1t2?0PA?PB?t1?t2????t1?t2,当t1t2?0
（注：记住常见的形式，P是定点，A、B是直线与曲线的交点，P、A、B三点在直线上）
【特别提醒】直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且其几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离，即|M0M|=|t|.
直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t1,t2，则弦长l?t1?t2； 2.解题思路
第一步：曲线化成普通方程，直线化成参数方程
第二步：将直线的参数方程代入曲线的普通方程，整理成关于t的一元二次方程：at2?bt?c?0
第三步：韦达定理：t1?t2??b,t1t2?caa
第四步：选择公式代入计算。 3??x＝5＋2t，
例如：已知直线l：?
1
y＝3＋t?2?
(t为参数)，以坐标原点为极点，
x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.
(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)设点M的直角坐标为(5，3)，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|·|MB|的值．
解：(1)ρ＝2cosθ等价于ρ＝2ρcosθ.①
将ρ＝x＋y，ρcosθ＝x代入①即得曲线C的直角坐标方程为x＋y－2x＝0.②
2
2
2
2
2
2
3??x＝5＋2t，
(2)将?
1
y＝3＋t?2?
2
代入②式，得t＋53t＋18＝0.
2
设这个方程的两个实根分别为t1，t2，则由参数t的几何意义即知，|MA|·|MB|＝|t1t2|＝18.
(五).极坐标中ρ的几何意义一直线与两曲线分别相交，求交点间的距离 思路：一般采用直线极坐标与曲线极坐标联系方程求出2个交点的极坐标，利用极径相减即可。
例如：在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为
2
（其中α为参
数），曲线C2：（x﹣1）+y=1，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的极坐标方程；
（Ⅱ）若射线θ=（ρ＞0）与曲线C1，C2分别交于A，B两点，求|AB|． 解：（Ⅰ）∵曲线C1的参数方程为∴曲线C1的普通方程为x+（y﹣2）=7． ∵曲线C2：（x﹣1）+y=1，
∴把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入（x﹣1）+y=1，
得到曲线C2的极坐标方程（ρcosθ﹣1）+（ρsinθ）=1， 化简，得ρ=2cosθ． （Ⅱ）依题意设A（
），B（
2
2
2
2
2
2
22
2
（其中α为参数），
），
∵曲线C1的极坐标方程为ρ﹣4ρsinθ﹣3=0， 将
（ρ＞0）代入曲线C1的极坐标方程，得ρ﹣2ρ﹣3=0，
2
解得ρ1=3，
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