2019极坐标与参数方程高考题型全归纳
一.题型部分
方程的转化
1. 极坐标与直角坐标互化公式:
(一) 极坐标与直角坐标的转化、参数方程与普通方程的转化,极坐标与参数
若以直角坐标系的原点为极点,x轴正半轴为极轴建立坐标系,点P的极坐标为(?,?),直角坐标为(x,y),则x??cos?, y??sin?, ?2?x2?y2,
tan??yx。
2. 参数方程:
x?x直线参数方程:??0?tcos??y?y0?tsin?(x0,y0) 为直线上的定点, t为直线上任(t为参数)一点(x,y)到定点(x0,y0)的数量;
圆锥曲线参数方程:
x?a?rcos?圆的参数方程:?(?为参数)(a,b)为圆心,r为半径; ??y?b?rsin?椭圆xy2?x?acos?的参数方程是??1(?为参数); ?22ab?y?bsin?2x2y2x?asec?双曲线2-2?1的参数方程是?(?为参数); ?ab?y?btan?x?2pt抛物线y2?2px的参数方程是??2?y?2pt(t为参数)
(二)有关圆的题型
题型一:圆与直线的位置关系(圆与直线的交点个数问题)----利用圆心到直线的距离与半径比较
d?r:相离,无交点;d?r:相切,1个交点;d?r:相交,2个交点;
用圆心(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离d?比较。
Ax0?By0?CA?B22,算出d,在与半径
题型二:圆上的点到直线的最值问题(不求该点坐标,如果求该点坐标请参照距离最值求法)
思路:第一步:利用圆心(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离d? 第二步:判断直线与圆的位置关系
第三步:相离:代入公式:dmax?d?r,dmin?d?r 相切、相交:dmax?d?rdmin?0
题型三:直线与圆的弦长问题 弦长公式l?2r2?d2Ax0?By0?CA?B22
,d是圆心到直线的距离
延伸:直线与圆锥曲线(包括圆、椭圆、双曲线、抛物线)的弦长问题 (弦长:直线与曲线相交两点,这两点之间的距离就是弦长) 弦长公式l?t1?t2,解法参考“直线参数方程的几何意义” (三)距离的最值: ---用“参数法” 1.曲线上的点到直线距离的最值问题 2.点与点的最值问题
“参数法”:设点---套公式--三角辅助角
①设点: 设点的坐标,点的坐标用该点在所在曲线的的参数方程来设 ②套公式:利用点到线的距离公式
③辅助角:利用三角函数辅助角公式进行化一
?x?例如:在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为??13cos?(?为参数),以坐标原
y?sin???点为极点,以x轴的正半轴为极轴,,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为?sin(???)?22.
4(I)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程;
(II)设点P在C上,点Q在C2上,求PQ的最小值及此时P的直角坐标
1x2Ⅰ)C1的普通方程为?y2?1,
3C2的直角坐标方程为x?y?4?0.
x?(解说:C1:??3cosα利用三角消元:移项-化同-平方-相加 ?y?sinα这里没有加减移项省去,直接化同,那系数除到左边
?x2?x2?cosαx2???cosα?两边同时平方?两道式子相加?y2?1?3?33?y?sinα?y2?sin2a?? (Ⅱ)由题意,可设点P的直角坐标为(3cos?,sin?)
(解说:点直接用该点的曲线方程的参数方程来表示) 因为C2是直线,所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(?)的最小值,
d(?)?|3cos??sin??4|??2|sin(??)?2|.
32解说:利用点到直线的距离列式子,然后就是三角函数的辅助公式进行化一)
?当sin(???)?1时即当??2k??(k?Z)时,d(?)取得最小值,最小值为362,此时
31P的直角坐标为(,).
22(四)直线参数方程的几何意义 1.经过点P(x0,y0),倾斜角为α的直线l?x?x0?tcos?(t为参数)的参数方程为?若
y?y?tsin?0?A,B为直线l上两点,其对应的参数分别为t1,t2,线段AB的中点为M,
点M所对应的参数为t0,则以下结论在解题中经常用到: (1)t0=(5)
t1+t2
2
;(2)|PM|=|t0|=
t1+t2
2
;(3)|AB|=|t2-t1|;(4)|PA|·|PB|=|t1·t2|
2??t1?t2?(t1?t2)?4t1t2,当t1t2?0PA?PB?t1?t2????t1?t2,当t1t2?0
(注:记住常见的形式,P是定点,A、B是直线与曲线的交点,P、A、B三点在直线上)
【特别提醒】直线的参数方程中,参数t的系数的平方和为1时,t才有几何意义且其几何意义为:|t|是直线上任一点M(x,y)到M0(x0,y0)的距离,即|M0M|=|t|.
直线与圆锥曲线相交,交点对应的参数分别为t1,t2,则弦长l?t1?t2; 2.解题思路
第一步:曲线化成普通方程,直线化成参数方程
第二步:将直线的参数方程代入曲线的普通方程,整理成关于t的一元二次方程:at2?bt?c?0
第三步:韦达定理:t1?t2??b,t1t2?caa
第四步:选择公式代入计算。 3??x=5+2t,
例如:已知直线l:?
1
y=3+t?2?
(t为参数),以坐标原点为极点,
x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ.
(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)设点M的直角坐标为(5,3),直线l与曲线C的交点为A,B,求|MA|·|MB|的值.
解:(1)ρ=2cosθ等价于ρ=2ρcosθ.①
将ρ=x+y,ρcosθ=x代入①即得曲线C的直角坐标方程为x+y-2x=0.②
2
2
2
2
2
2
3??x=5+2t,
(2)将?
1
y=3+t?2?
2
代入②式,得t+53t+18=0.
2
设这个方程的两个实根分别为t1,t2,则由参数t的几何意义即知,|MA|·|MB|=|t1t2|=18.
(五).极坐标中ρ的几何意义一直线与两曲线分别相交,求交点间的距离 思路:一般采用直线极坐标与曲线极坐标联系方程求出2个交点的极坐标,利用极径相减即可。
例如:在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为
2
(其中α为参
数),曲线C2:(x﹣1)+y=1,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(Ⅰ)求曲线C1的普通方程和曲线C2的极坐标方程;
(Ⅱ)若射线θ=(ρ>0)与曲线C1,C2分别交于A,B两点,求|AB|. 解:(Ⅰ)∵曲线C1的参数方程为∴曲线C1的普通方程为x+(y﹣2)=7. ∵曲线C2:(x﹣1)+y=1,
∴把x=ρcosθ,y=ρsinθ代入(x﹣1)+y=1,
得到曲线C2的极坐标方程(ρcosθ﹣1)+(ρsinθ)=1, 化简,得ρ=2cosθ. (Ⅱ)依题意设A(
),B(
2
2
2
2
2
2
22
2
(其中α为参数),
),
∵曲线C1的极坐标方程为ρ﹣4ρsinθ﹣3=0, 将
(ρ>0)代入曲线C1的极坐标方程,得ρ﹣2ρ﹣3=0,
2
解得ρ1=3,
高中数学极坐标与参数方程高考题型全归纳题型部分
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