2019-2020学年江西省赣州市高二（上）期中数学试卷（理
科）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 某单位职工老年人有30人，中年人有50人，青年人有20人，为了了解职工的健
康状况，分层抽样的方法从中拍取10人进行体检，则应抽查的老年人的人数为( ) A. 3 B. 5 C. 2 D. 1
? =(1,?2)，? 2. 已知向量????=(??,4)，且??? //? ??，则??=( )
A. 8 B. ?8 C. ?2 D. 2 3. 点??(3,?2,2√3)到原点的距离为( )
A. 1 B. 3 C. 5 D. 9
4. 甲、乙两名同学在5次数学考试中，成绩统计用茎叶图表示，若甲、乙两人的平均
成绩分别用??甲、??乙表示，则下列结论正确的是( )
A. ??甲>??乙，且甲比乙成绩稳定 C. ??甲
B. ??甲>??乙，且乙比甲成绩稳定 D. ??甲
5. 在正方体???????????1??1??1??1中，点O为线段BD的中点，设点P在直线????1上，直
线OP与??1??1所成的角为??，则????????为( )
A. 1
3 B. √2
C. 2
1
D. 变化的值
6. 已知两条不同的直线m、n及平面??、??，则下列命题正确的是( )
A. 若??//??，?????，则??//?? B. 若??⊥??，??//??，则??⊥?? C. 若??//??，??//??，则??//??
D. 若??⊥??，?????且 ??⊥??，则??//?? E. 若??⊥??，?????且 ??⊥??
7. 某柱体的正视图与侧视图是全等的正方形，俯视图是圆，记该柱体的表面积为??1，
其内切球的表面积为??2，且??1=????2，则??=( )
A. 1
B. 3
2
C. 2
3
D. 3
4
8. 某公司有3000名员工，将这些员工编号为1，2，3，…，3000，从这些员工中使用
系统抽样的方法抽取200人进行“学习强国”的问卷调查，若84号被抽到则下面被抽到的是( ) A. 44号 B. 294号 C. 1196号 D. 2984号
9. △??????的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且??????????=(2?????)????????，则角A
的大小为( )
A. 6
??
B. 4
??
C. 3
??
D. 2
??
10. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，在《九章算术》中，将四个面
都是直角三角形的四面体称之为鳖臑，在鳖臑?????????中，????⊥平面BCD，且有
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????⊥????，????=????=1，????=2，若该鳖臑的顶点都在一个球面上，则该球的体积为( )
6
A. 8√??
3
B. √6?? C. 8√6?? D. 24??
11. 过点??(3,4)作圆??2+??2=4的两条切线，切点分别为A，B，则|????|=( )
A. 5?√3 B. 5?√2
21 C. 2√521 D. 4√5
12. 已知四棱锥???????????的底面为矩形，????⊥底面ABCD，点E在线段BC上，以AD
为直径的圆过点E，若????=3，????=√3，则△??????的面积的最小值为( )
A. 9
B. 2
9
C. 7
D. 2
7
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知正六棱柱的高为2，底面边长为1，则该正六棱柱表面积为______．
14. 从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直
方图(如图).由图中数据可知身高在[120,130]内的学生人数为______．
B，C的对边分别为a，b，c，????????=?4，3????????=2????????，15. 设△??????的内角A，且??=2，则??=______．
16. 如图，在????△??????中，????=1,????=√3，D是斜边AB的中点，将△??????沿直线
CD翻折，使得二面角??????????为直二面角，则此时线段AB的长度为______．
1
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知三点??(1,0)，??(0,1)，??(2,5)．
??? 的夹角为??，求????????； (1)若向量????? ????与??????
????? +????????? 与????? 垂直． (2)当m为何值时，向量??????????
△??????是边长为4的正三角形，18. 如图，在三棱锥?????????中，
D是AC中点，M、平面??????⊥平面ABC，????=????=2√3，
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N分别是AB，SB的中点． (1)求证：????⊥????．
(2)求三棱锥?????????的体积．
19. △??????的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知????????
(1)求角A；
(2)若??=√7，△??????的面积为
3√3
，求△2
??+??2
=??????????．
??????的周长．
E、F分别为线段??1??1、20. 如图，在直三棱柱?????????1??1??1中，点D、
AB、??1??的中点，??1??=????=????，∠??????=90°.求证： (1)????//平面??????1??1； (2)????⊥平面??1????．
21. 画糖是一种以糖为材料在石板上进行造型的民间艺术，常见于公园与旅游景点．某
师傅制作了一种新造型糖画，为了合理定价，先进行试销售，其单价??(元)与销量??(个)相关数据如表：
单价??(元) 8.5 9 第3页，共13页
9.5 10 10.5 销量??(个) 12 11 9 7 6 (1)已知销量y与单价x具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程； (2)若该新造型糖画每个的成本为5.7元，要使得进入售卖时利润最大，请利用所求出的线性回归方程确定单价应该定为多少元？(结果保留到整数)
参考公式：线性回归方程??=??+????中斜率和截距最小二乘法估计计算公式：??=
∑????=1???????????????
22∑????=1?????????
???
52
,??=???????.参考数据：∑5??=1????????=419.5,∑??=1????=453.75．
??
22. 已知圆C的圆心在x轴上，且经过点??(?1,√3)，??(√3,?1)．
(1)求圆C的方程；
(2)若点??(√2,√2)，直线l平行于????(??为坐标原点)且与圆C相交于M，N两点，直线QM、QN的斜率分别为??????、??????，求证：??????+??????为定值．
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答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：某单位职工老年人有30人，中年人有50人，青年人有20人， 为了了解职工的健康状况，分层抽样的方法从中抽取10人进行体检， 则应抽查的老年人的人数为：10×30+50+20=3．
故选：A．
利用分层抽样的性质直接求解． 本题考查应抽查的老年人的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2.【答案】C
30
【解析】解：∵??? //? ??； ∴4+2??=0； ∴??=?2． 故选：C．
? 即可得出4+2??=0，解出m即可． 根据??? //??
考查向量坐标的定义，以及平行向量的坐标关系． 3.【答案】C
【解析】解：根据空间两点间的距离公式： ????=√9+4+12=5， 故选：C．
利用空间两点间的距离公式，求出即可． 考查空间两点间的距离公式，基础题． 4.【答案】A
【解析】解：由茎叶图可知，甲的数据为88，89，90，91，92，所以甲的平均值为??甲=
15
(88+89+90+91+92)=90．
1
88，89，89，91，乙的数据为83，所以乙的平均值为??乙=5(83+88+89+89+91)=88，所以??甲>??乙．
由茎叶图可知，甲的数据主要集中在90附近，所以甲比乙稳定．
故选：A．
根据茎叶图得到平均值，根据取值的分布取得甲乙的稳定性大小． 本题主要考查茎叶图的应用，要求掌握平均值的计算公式，比较基础． 5.【答案】A
【解析】
解：连接AC，BD交于点O， 则有????⊥????，????⊥????， 即????⊥面OCP， 又????//??1??1，
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2019-2020学年江西省赣州市高二(上)期中数学试卷(理科)
