2019-2020学年江西省赣州市高二(上)期中数学试卷(理
科)
一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)
1. 某单位职工老年人有30人,中年人有50人,青年人有20人,为了了解职工的健
康状况,分层抽样的方法从中拍取10人进行体检,则应抽查的老年人的人数为( ) A. 3 B. 5 C. 2 D. 1
? =(1,?2),? 2. 已知向量????=(??,4),且??? //? ??,则??=( )
A. 8 B. ?8 C. ?2 D. 2 3. 点??(3,?2,2√3)到原点的距离为( )
A. 1 B. 3 C. 5 D. 9
4. 甲、乙两名同学在5次数学考试中,成绩统计用茎叶图表示,若甲、乙两人的平均
成绩分别用??甲、??乙表示,则下列结论正确的是( )
A. ??甲>??乙,且甲比乙成绩稳定 C. ??甲?乙,且甲比乙成绩稳定
B. ??甲>??乙,且乙比甲成绩稳定 D. ??甲?乙,且乙比甲成绩稳定
5. 在正方体???????????1??1??1??1中,点O为线段BD的中点,设点P在直线????1上,直
线OP与??1??1所成的角为??,则????????为( )
A. 1
3 B. √2
C. 2
1
D. 变化的值
6. 已知两条不同的直线m、n及平面??、??,则下列命题正确的是( )
A. 若??//??,?????,则??//?? B. 若??⊥??,??//??,则??⊥?? C. 若??//??,??//??,则??//??
D. 若??⊥??,?????且 ??⊥??,则??//?? E. 若??⊥??,?????且 ??⊥??
7. 某柱体的正视图与侧视图是全等的正方形,俯视图是圆,记该柱体的表面积为??1,
其内切球的表面积为??2,且??1=????2,则??=( )
A. 1
B. 3
2
C. 2
3
D. 3
4
8. 某公司有3000名员工,将这些员工编号为1,2,3,…,3000,从这些员工中使用
系统抽样的方法抽取200人进行“学习强国”的问卷调查,若84号被抽到则下面被抽到的是( ) A. 44号 B. 294号 C. 1196号 D. 2984号
9. △??????的内角A、B、C的对边分别是a、b、c,且??????????=(2?????)????????,则角A
的大小为( )
A. 6
??
B. 4
??
C. 3
??
D. 2
??
10. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,在《九章算术》中,将四个面
都是直角三角形的四面体称之为鳖臑,在鳖臑?????????中,????⊥平面BCD,且有
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????⊥????,????=????=1,????=2,若该鳖臑的顶点都在一个球面上,则该球的体积为( )
6
A. 8√??
3
B. √6?? C. 8√6?? D. 24??
11. 过点??(3,4)作圆??2+??2=4的两条切线,切点分别为A,B,则|????|=( )
A. 5?√3 B. 5?√2
21 C. 2√521 D. 4√5
12. 已知四棱锥???????????的底面为矩形,????⊥底面ABCD,点E在线段BC上,以AD
为直径的圆过点E,若????=3,????=√3,则△??????的面积的最小值为( )
A. 9
B. 2
9
C. 7
D. 2
7
二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)
13. 已知正六棱柱的高为2,底面边长为1,则该正六棱柱表面积为______.
14. 从某小学随机抽取100名同学,将他们的身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直
方图(如图).由图中数据可知身高在[120,130]内的学生人数为______.
B,C的对边分别为a,b,c,????????=?4,3????????=2????????,15. 设△??????的内角A,且??=2,则??=______.
16. 如图,在????△??????中,????=1,????=√3,D是斜边AB的中点,将△??????沿直线
CD翻折,使得二面角??????????为直二面角,则此时线段AB的长度为______.
1
三、解答题(本大题共6小题,共70.0分) 17. 已知三点??(1,0),??(0,1),??(2,5).
??? 的夹角为??,求????????; (1)若向量????? ????与??????
????? +????????? 与????? 垂直. (2)当m为何值时,向量??????????
△??????是边长为4的正三角形,18. 如图,在三棱锥?????????中,
D是AC中点,M、平面??????⊥平面ABC,????=????=2√3,
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N分别是AB,SB的中点. (1)求证:????⊥????.
(2)求三棱锥?????????的体积.
19. △??????的内角A、B、C的对边分别是a、b、c,已知????????
(1)求角A;
(2)若??=√7,△??????的面积为
3√3
,求△2
??+??2
=??????????.
??????的周长.
E、F分别为线段??1??1、20. 如图,在直三棱柱?????????1??1??1中,点D、
AB、??1??的中点,??1??=????=????,∠??????=90°.求证: (1)????//平面??????1??1; (2)????⊥平面??1????.
21. 画糖是一种以糖为材料在石板上进行造型的民间艺术,常见于公园与旅游景点.某
师傅制作了一种新造型糖画,为了合理定价,先进行试销售,其单价??(元)与销量??(个)相关数据如表:
单价??(元) 8.5 9 第3页,共13页
9.5 10 10.5 销量??(个) 12 11 9 7 6 (1)已知销量y与单价x具有线性相关关系,求y关于x的线性回归方程; (2)若该新造型糖画每个的成本为5.7元,要使得进入售卖时利润最大,请利用所求出的线性回归方程确定单价应该定为多少元?(结果保留到整数)
参考公式:线性回归方程??=??+????中斜率和截距最小二乘法估计计算公式:??=
∑????=1???????????????
22∑????=1?????????
???
52
,??=???????.参考数据:∑5??=1????????=419.5,∑??=1????=453.75.
??
22. 已知圆C的圆心在x轴上,且经过点??(?1,√3),??(√3,?1).
(1)求圆C的方程;
(2)若点??(√2,√2),直线l平行于????(??为坐标原点)且与圆C相交于M,N两点,直线QM、QN的斜率分别为??????、??????,求证:??????+??????为定值.
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答案和解析
1.【答案】A
【解析】解:某单位职工老年人有30人,中年人有50人,青年人有20人, 为了了解职工的健康状况,分层抽样的方法从中抽取10人进行体检, 则应抽查的老年人的人数为:10×30+50+20=3.
故选:A.
利用分层抽样的性质直接求解. 本题考查应抽查的老年人的求法,考查分层抽样的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题. 2.【答案】C
30
【解析】解:∵??? //? ??; ∴4+2??=0; ∴??=?2. 故选:C.
? 即可得出4+2??=0,解出m即可. 根据??? //??
考查向量坐标的定义,以及平行向量的坐标关系. 3.【答案】C
【解析】解:根据空间两点间的距离公式: ????=√9+4+12=5, 故选:C.
利用空间两点间的距离公式,求出即可. 考查空间两点间的距离公式,基础题. 4.【答案】A
【解析】解:由茎叶图可知,甲的数据为88,89,90,91,92,所以甲的平均值为??甲=
15
(88+89+90+91+92)=90.
1
88,89,89,91,乙的数据为83,所以乙的平均值为??乙=5(83+88+89+89+91)=88,所以??甲>??乙.
由茎叶图可知,甲的数据主要集中在90附近,所以甲比乙稳定.
故选:A.
根据茎叶图得到平均值,根据取值的分布取得甲乙的稳定性大小. 本题主要考查茎叶图的应用,要求掌握平均值的计算公式,比较基础. 5.【答案】A
【解析】
解:连接AC,BD交于点O, 则有????⊥????,????⊥????, 即????⊥面OCP, 又????//??1??1,
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2019-2020学年江西省赣州市高二(上)期中数学试卷(理科)
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