一．（本题满分8分） 在正方形D??p,实根的概率． 解：
?q?：p?1,q?1?中任取一点?p,q?，求使得方程x2?px?q?0有两个
设A?“方程x2?px?q?0有两个实根”，所求概率为P?A?． 设所取的两个数分别为p与q，则有?1?p?1，?1?q?1． 因此该试验的样本空间与二维平面点集
D???p,q?：?1?p?1,?1?q?1?
中的点一一对应．…………………………………2分
随机事件A与二维平面点集DA???p,q?：p2?4q?0?，即与点集
??p2DA???p,q?：?q?…………………2分
4??中的点一一对应．
?p2???1?dp1???3??4D的面积?1???1?p?p??13．…………………4分 ? 所以， P?A??A?D的面积2?24??12??124二．（本题满分8分）
从以往的资料分析得知，在出口罐头导致索赔的事件中，有50%是质量问题；有30%是数量短缺问题；有20%是产品包装问题．又知在质量问题的争议中，经过协商解决的占40%；在数量短缺问题的争议中，经过协商解决的占60%；在产品包装问题的争议中，经过协商解决的占75%．如果在发生的索赔事件中，经过协商解决了，问这一事件不属于质量问题的概率是多少？ 解：
1 设A1?“事件属于质量问题”，A2?“事件属于数量短缺问题”， A3?“事件属于产品包装问题”．
B?“事件经过协商解决”．所求概率为PA1B．…………………2分 由Bayes公式，得 P?A1B??
??P?A1?P?BA1??P?A2?P?BA2??P?A3?P?BA3?P?A1?P?BA1?…………………2分
1
?0.5?0.400.5?0.40?0.3?0.60?0.2?0.75?0.377358．…………………492分 所以，P?A1B??1?P?A1B??1?0.37735849?0.62264151．…………………2分
三．（本题满分8分）
设随机事件A满足：P?A??1．证明：对任意随机事件B，有P?AB??P?B?． 解：
因为P?A??1，所以，P?A??1?P?A??1?1?0．…………………2分 所以，对任意的随机事件B，由AB?A，以及概率的单调性及非负性，有 0?P?AB??P?A??0， 因此有P?AB??0．…………………2分
所以，对任意的随机事件B，由B?AB?AB，以及AB与AB的互不相容性，得 P?B??P?AB?AB??P?AB??P?AB??P?AB??0?P?AB?．………………4分
四．（本题满分8分）
设随机变量X的密度函数为
p?x????ax?bx20?x?10 ，
?其它并且已知E?X??12，试求方差D?X?． 解：
???? 由
及E?X??xp?x?dx?1??p?x?dx?1????2，得 ??1 1???a??p?x?dx??ax?bx2dx??2?b3，…………………2分 0??1 12??xp?x?dx??x?ax?bx2?dx?a?b．…………………2分
??034?由此得线性方程组 ?a?b?23?1 ．
?ab1?3?4?2解此线性方程组，得a?6,b??6．…………………2分
2
??1 所以，EX13????xp?x?dx??x?6x?6x?dx?6?1?6??，
45102222??03?1?12所以，D?X??EX2??E?X???????．…………………2分
10?2?20??2五．（本题满分8分）
经验表明，预定餐厅座位而不来就餐的顾客比例为20%．某餐厅有50个座位，但预定给了52位顾客，问到时顾客来到该餐厅而没有座位的概率是多少？ 解：
设X表示52位预订了座位的顾客中来就餐的顾客数，则X~B?52,0.8?．…………1分 则所求概率为P?X?50?．…………………2分 P?X?50??P?X?51??P?X?52?…………………2分
5152?0.851?0.21?C52?0.852?0.20 ?C52 ?0.0001278813933．…………………3分
六．（本题满分10分）
将一颗均匀的骰子独立地掷10次，令X表示这10次出现的点数之和，求E?X?（5分）与D?X?（5分）． 解：
设Xk表示第k次出现的点数，?k?1,2,?,10?． 则X1,X2,?,X10相互独立，而且X??Xk．
k?110 而Xk的分布列为 P?Xk?j??661，?j?1,2,?,6?．…………………2分 61所以，E?Xk???j?P?Xk?j???j?
6j?1j?11617 ??j??21?， ?k?1,2,?,10?．…………………2分
6j?162所以，由数学期望的性质，得
1077?10?10 E?X??E??Xk???E?Xk?????10?35．…………………2分
2k?12?k?1?k?1 3
第二学期概率论与数理统计期末考试试卷(A卷)答案
