2020高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1-1集合及其运算学案理

2019年

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?1??2，，1－??2?

(2)对于集合M，N，定义M－N＝{x|x∈M，且x?N}，M⊕N＝(M－N)∪(N－M)，设

A＝，B＝{x|x<0，x∈R}，则A⊕B＝( )

? A.??－4，0???? B.??－4，0???

99

C.∪[0，＋∞) D.∪(0，＋∞)

[答案] C

[解析] 依题意得A－B＝{x|x≥0，x∈R}，B－A＝，故A⊕B＝∪[0，＋∞)．

[点石成金] 解决集合的新定义问题，从两点入手

(1)正确理解创新定义．这类问题不是简单的考查集合的概念或性质问题，而是以 集合为载体的有关新定义问题．常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等．(2)合理利用集合性质．运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键．在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用

集合性质的一些因素，但关键之处还是合理利用集合的运算与性质.

[方法技巧] 1.在解题时经常用到集合元素的互异性，一方面利用集合元素的互异性能顺利找到解题的切入点；另一方面，在解答完毕时，注意检验集合的元素是否

满足互异性以确保答案正确．

2．求集合的子集(真子集)个数问题，需要注意以下结论的应用：含有n个元素的 集合有2n个子集，有2n－1个非空子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．

3．对于集合的运算，常借助数轴、Venn图求解．

[易错防范] 1.集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其

他类型集合)，要对集合进行化简．

2．在解决有关A∩B＝?，A?B等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑

?是否成立，以防漏解．

2019年

3．Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运

用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心．

真题演练集训

1．[2016·新课标全国卷Ⅰ]设集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，则

A∩B＝( )

? B．??－3，2? ??? D．??2，3? ??

3

3

A.C.

答案：D

解析：由题意得，A＝{x|1

2．[2016·新课标全国卷Ⅱ]已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，

x∈Z}，则A∪B＝( )

B．{1,2}

D．{－1,0,1,2,3}

A．{1}C．{0,1,2,3}

答案：C

解析：由已知可得B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}＝{x|－1

∴ A∪B＝{0,1,2,3}，故选C.

3．[2016·新课标全国卷Ⅲ]设集合S＝{x|(x－2)·(x－3)≥0}，T＝{x|x>0}，

则S∩T＝( ) A．[2,3]

B．(－∞，2]∪[3，＋∞)

C．[3，＋∞) D．(0,2]∪[3，＋∞)

答案：D

解析：集合S＝(－∞，2]∪[3，＋∞)，结合数轴，可得S∩T＝(0,2]∪[3，＋∞)．4．[2015·新课标全国卷Ⅱ]已知集合A＝{－2，－1，0,1,2}，B＝{x|(x－1)(x

2019年

＋2)<0}，则A∩B＝( )

B．{0,1} D．{0,1,2}

A．{－1,0}C．{－1,0,1}

答案：A

解析：由题意知B＝{x|－2

5．[2014·新课标全国卷Ⅰ]已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x<2}，

则A∩B＝( )

B．[－1,2) D．[1,2)

A．[－2，－1] C．[－1,1]

答案：A

解析：∵A＝{x|x≥3或x≤－1}，B＝{x|－2≤x<2}，∴A∩B＝{x|－2≤x≤－1}

＝[－2，－1]，故选A.

6．[2014·新课标全国卷Ⅱ]设集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x2－3x＋2≤0}，则M∩N

＝( )

B．{2} D．{1,2}

A．{1} C．{0,1} 答案：D

解析：N＝{x|x2－3x＋2≤0}＝{x|1≤x≤2}，又M＝{0,1,2}，所以M∩N＝{1,2}．

课外拓展阅读

集合运算问题的三种解题模板

集合的基本运算包括交集、并集、补集，是历年高考必考的内容．解决集合的基本运算问题，要先明确集合中元素的特征，求出每个集合，然后理清几个集合之间的

关系，最后利用列举法或借助数轴、Venn图等进行基本运算，从而得出结果．

方法一 列举法

列举法就是通过枚举集合中所有的元素，然后根据集合基本运算的定义求解的方法．此种方法适用于数集的有关运算以及集合的新定义运算问题，其基本的解题步骤

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是：

(1)定元素：确定已知集合中所含的元素，利用列举法写出所有元素．

(2)定运算：根据要求及新定义运算，将所求解集合的运算问题转化为集合的交

集、并集与补集的基本运算问题，或转化为数的有关运算问题．

(3)定结果：根据定义的运算进行求解，利用列举法写出所求集合中的所有元素．[典例1] 设集合A＝{－1,0,1}，集合B＝{0,1,2,3}，定义A*B＝{(x，

y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，则A*B中元素的个数是( )

B．10 D．52

A．7C．25

[思路分析] [答案] B

[解析] 因为A＝{－1,0,1}，B＝{0,1,2,3}， 所以A∩B＝{0,1}，A∪B＝{－1,0,1,2,3}．

由x∈A∩B，可知x可取0,1；

由y∈A∪B，可知y可取－1,0,1,2,3. 所以元素(x，y)的所有结果如下表所示：

y x 0 1 －1 (0，－1) (1，－1) 0 (0,0) (1,0) 1 (0,1) (1,1) 2 (0,2) (1,2) 3 (0,3) (1,3) 所以A*B中的元素共有10个． 方法二 数形结合法

数形结合法就是利用数轴或Venn图或平面直角坐标系中的图象表示出相关集合，然后根据图形求解集合的补集或者进行相关集合的交集、并集的基本运算．其求

解的基本步骤是：

(1)画图形：根据题设条件给出的几何意义，画出与集合对应的几何图形或函数图

象．

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(2)定区域：利用数轴、韦恩(Venn)图或直角坐标系中的函数图象确定集合运算所

表示的平面区域．

(3)求结果：根据图形确定相关运算的结果或区域所表示的几何图形的面积．

[典例2] 若集合A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，则A∩B＝( )

B．{x|x≥0}

D．?

A．{x|－1≤x≤1}C．{x|0≤x≤1} [思路分析] [答案] C

[解析] 因为集合A表示函数y＝中x的取值范围，即该函数的定义域，

由1－|x|≥0得－1≤x≤1，

即A＝{x|－1≤x≤1}，

又集合B表示函数y＝x2在定义域R上的值域，

由x2≥0得B＝{y|y≥0}，所以结合数轴， 如图所示阴影部分，可得A∩B＝{x|0≤x≤1}．

方法三 特值法

高考对集合的基本运算的考查以选择题为主，所以我们可以利用特值法解题，即根据选项之间的明显差异，选择一些特殊元素进行检验排除，从而得到正确选项．其

求解的基本步骤如下：

(1)辨差异：分析各选项，辨别各选项的差异． (2)定特殊：根据选项的差异，选定一些特殊的元素． (3)验排除：将特殊的元素代入进行验证，排除干扰项．

(4)定结果：根据排除的结果确定正确的选项．

[典例3] [2017·河北衡水中学模拟]已知U为全集，集合A＝{x|x2－2x－3>0}，

B＝{x|2

B．{x|2

A．{x|－1≤x≤4}C．{x|2≤x<3}