全国2011年10月高等教育自学考试
线性代数试题 课程代码:02198
说明:在本卷中,AT表示矩阵的转置矩阵,A*表示矩阵A的伴随矩阵,E表示单
位矩阵,
表示方阵A的行列式,r(A)表示矩阵A的秩。矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。 一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。聞創沟燴鐺險爱氇谴净。 1.设3阶方阵A的行列式为2,则A.
B.【解】C.
D.1
=(B)
解得,唯一解.【注】行列式即可以做行变换,也可以做列变换. 4.设A为n阶方阵,则下列结论中不正确的是(C) ...A.ATA是对称矩阵B.AAT是对称矩阵 C.E+AT是对称矩阵D.A+AT是对称矩阵 【解】对称矩阵:关于主对角线对称的矩阵,以2阶方阵为例: AATATAA+AT 均为对称矩阵 ,则必有(C)
5.设
A.0B.1C.2D.3
,其中
,则矩阵
2.设A为n阶方阵,将A的第1列与第2列交换得到方阵B,若A.B.故C. D. 【解】A的第1列与第2列交换得到方阵B,,3.设
A.0B.1C.2D.3 【解】 A的秩为(B)
,则方程的根的个数为(B)
【解】
,非零行的个数为1,故秩是1.
6.设6阶方阵A的秩为4,则A的伴随矩阵
A.0B.2C.3D.4 的秩为(A)
【解】 A是6阶的方阵,则,其中是的各元素的代数余子式 是5阶行列式,又A的秩为4,则=0,不是满秩的方阵1 / 6
行列式均为零。故是零矩阵,规定零矩阵的秩为零。残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。 7.设向量α=(1,-2,3)与β=(2,k,6)正交,则数k为(D) A.-10B.-4C.4D.10 【解】正交矩阵:正交向量:(或,即,解得8.设3阶方阵A的特征多项式为A.-18B.-6C.6D.18 【解】解得特征根 ,则
=(A)
. ) , 【解】, 无解的充分必要条件是10.设二次型
A.a>9B. 3≤a≤9C.-3<a<3D. a≤-3 【注】形如定义:正定二次型判定:分必要条件是. ,只有. 正定,则数a的取值应满足(C)
为二次型 则称该二次型为正定二次型; 为正定二次型的充 【解】9.已知线性方程组
无解,则数a=(D )
A.
B.0C.
D.1
; 11.设行列式
若 若(2)无解的充分必要条件是,则有唯一解; ,则有无穷多组解. 【解】则,. ,其第3行各元素的代数余子式之和为___0__. 解得,,-3<a<3. 【注】定理1元线性方程组(1)有解的充分必要条件是二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
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12.设则.
14.设A是4×3矩阵且【解】做行变换可知,的秩,r(AB)= 【注】秩的性质:1. 3.5.6.若7.8.15.已知向量组 、 4.为阶方阵,可逆,则,方阵,则r(AB)= __2_______. 满秩,可逆.乘上可逆矩阵不影响矩阵 2. 的秩为2,则数t=. 【解】
…,
可由向量组
…
线性表示,则r与s
13设线性无关的向量组的关系为
.
【注】向量组线性相关性的判定 定理1(充要条件)向量组由其余向量线性表示。 定理2(充要条件) 1.向量组2.向量组推论1维向量组线性相关线性无关矩阵矩阵的秩的秩;; 。 维向量组【解】线性相关的充要条件是其中存在一个向量可
线性相关的充分必要条件是. 线性相关. . . ,线性无关的充分必要条件是推论2 当定理3向量组若线性无关,且可由判定线性相关性的重要结论: 1.向量组线性无关,而向量组线性表示,且表示法唯一。 时,必有维向量组,向量组线性表示,则向量组秩为2,所以行阶梯形非零行个数应为2,故16.设4元线性方程组Ax=b的三个解为α1,α2 ,α3,已知α1=(1,2,3,4)T, α2 +α3=(3,5,7,9)T,r(A)=3.则方程组的通解是为任意常数. 【解】r(A)=3,Ax=0的基础解系所含解向量个数是1个。 线性相关,则可由基础解系通解为 为任意常数 2.部分组线性相关则整体组线性相关;整体组线性无关则任意部分组线性无关. 3.线性无关的向量组的每个向量都添加m个分量后仍线性无关。 4.含零向量的向量组必线性相关. 5.如果向量组,…,6.向量组,…,可由向量组,…,线性表示,且,,则 线性相关.(多数向量可由少数向量线性表示,多数向量必线性相关.) 线性无关,而向量组线性表示,且表示法唯一。 线性相关,则可由17.设方程组有非零解,且数λ<0,则. 定理n元齐次线性方程组 ; (1)有非零解(无穷多解)的充分必要条件3 / 6
(2)只有零解的充分必要条件. 【解】【解】 有非零解(无穷多解)的充分必要条件所以. ;故,又λ<0,22.解矩阵方程
18.设矩阵
a=____2______. 【解】有一个特征值,对应的特征向量为,则数
【解】移项,将原方程化为 19.设3阶方阵A的秩为2,且,则A的全部特征值为____________. 【解】A的秩为2,说明特征根有一个为零, ,解得两个根,3阶说明有一 个是重根,所以20.设实二次型范形为
. ,已知A的特征值为-1,1,2,则该二次型的规
.
三、计算题(本大题共6小题,每小题9分,共54分)
所以 21.计算行列式的值.
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23.设向量
一个极大无关组.
,问p为何值时,该向量组线性相关?并在此时求出它的秩和
时,方程组无解时:方程组有无穷多解时:时,时,为满秩时,所以方程组有唯一解; , . 【解】 (2)当时, 向量解得齐次方程的基础解系为组线性相关,秩4,故(或【注】定理 1.向量组2.向量组)是向量组线性相关线性无关矩阵矩阵,此时向量组的一个极大无关组. 通解的秩的秩 【注】定理1元线性方程组(1) 有解的充分必要条件是24.设3元线性方程组
,
若(2)无解的充分必要条件是(1)确定当λ取何值时,方程组有惟一解、无解、有无穷多解?
(2)当方程组有无穷多解时,求出该方程组的通解(要求用其一个特解和导出组的
基础解系表示) 【解】(1)设方程组的系数矩阵为,
,有唯一解;若 ; ,有无穷多组解. ,其中为任意常数. 的秩是3.,特解为,故 25.求矩阵的全部特征值及其对应的全部特征向量.
【解】 方程组有惟一解时:当且 的特征值为, 5 / 6
因此ATA是可逆矩阵.
(1)当时,由,解得基础解系,故的属于的全部特征向量为(2)当时,由. ,解得基础解系,故的属于的全部特征向量为. (3)当时,由. ,解得基础解系,故的属于的全部特征向量为26.用配方法化二次型出所作的可逆线性变换. 【解】
为标准形,并写
令则经线性变换
将二次型化为标准型
四、证明题(本题6分)
27.设A是m×n实矩阵,n<m,且线性方程组Ax=b有惟一解.证明ATA是可逆矩 阵.
证一反证法 若ATA不可逆,则
。从而ATAx=0有非零解。设是其一个非零实数解则
ATA=0,由此推出TATA=(A)T A=0,于是有A=0,即齐次线性方程组Ax=0有非零解,与Ax=b有惟一解矛盾。酽锕极額閉镇桧猪訣锥。 6 / 6
全国自考线性代数试题附标准答案详解
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