全国自考线性代数试题附标准答案详解

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全国2011年10月高等教育自学考试

线性代数试题课程代码：02198

说明：在本卷中，AT表示矩阵的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E表示单

位矩阵，

表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩。矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。聞創沟燴鐺險爱氇谴净。 1.设3阶方阵A的行列式为2，则A.

B.【解】C.

D.1

=（B）

解得，唯一解.【注】行列式即可以做行变换，也可以做列变换. 4.设A为n阶方阵，则下列结论中不正确的是（C）．．．A.ATA是对称矩阵B.AAT是对称矩阵 C.E+AT是对称矩阵D.A+AT是对称矩阵【解】对称矩阵：关于主对角线对称的矩阵，以2阶方阵为例： AATATAA+AT 均为对称矩阵 ,则必有（C）

5.设

A.0B.1C.2D.3

，其中

,则矩阵

2.设A为n阶方阵，将A的第1列与第2列交换得到方阵B，若A.B.故C. D. 【解】A的第1列与第2列交换得到方阵B，，3.设

A.0B.1C.2D.3 【解】 A的秩为（B）

，则方程的根的个数为（B）

【解】

，非零行的个数为1，故秩是1.

6.设6阶方阵A的秩为4，则A的伴随矩阵

A.0B.2C.3D.4 的秩为（A）

【解】 A是6阶的方阵，则，其中是的各元素的代数余子式是5阶行列式，又A的秩为4，则=0，不是满秩的方阵1 / 6

行列式均为零。故是零矩阵，规定零矩阵的秩为零。残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。 7.设向量α=（1，-2，3）与β=（2，k，6）正交，则数k为（D） A.-10B.-4C.4D.10 【解】正交矩阵：正交向量：（或，即，解得8.设3阶方阵A的特征多项式为A.-18B.-6C.6D.18 【解】解得特征根，则

=（A）

. ），【解】，无解的充分必要条件是10.设二次型

A.a＞9B. 3≤a≤9C.-3＜a＜3D. a≤-3 【注】形如定义：正定二次型判定：分必要条件是. ，只有. 正定，则数a的取值应满足（C）

为二次型则称该二次型为正定二次型；为正定二次型的充【解】9.已知线性方程组

无解，则数a=(D )

B.0C.

D.1

； 11.设行列式

若若（2）无解的充分必要条件是,则有唯一解； ,则有无穷多组解．【解】则，. ，其第3行各元素的代数余子式之和为___0__. 解得，，-3＜a＜3. 【注】定理1元线性方程组(1)有解的充分必要条件是二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

2 / 6

12.设则.

14.设A是4×3矩阵且【解】做行变换可知，的秩，r(AB)= 【注】秩的性质：1. 3.5.6.若7.8.15.已知向量组、 4.为阶方阵，可逆，则，方阵，则r(AB)= __2_______. 满秩，可逆.乘上可逆矩阵不影响矩阵 2. 的秩为2，则数t=. 【解】

…，

可由向量组

…

线性表示，则r与s

13设线性无关的向量组的关系为

【注】向量组线性相关性的判定定理1（充要条件）向量组由其余向量线性表示。定理2（充要条件） 1.向量组2.向量组推论1维向量组线性相关线性无关矩阵矩阵的秩的秩；；。维向量组【解】线性相关的充要条件是其中存在一个向量可

线性相关的充分必要条件是．线性相关．．．，线性无关的充分必要条件是推论2 当定理3向量组若线性无关,且可由判定线性相关性的重要结论： 1.向量组线性无关，而向量组线性表示，且表示法唯一。时,必有维向量组,向量组线性表示,则向量组秩为2，所以行阶梯形非零行个数应为2，故16.设4元线性方程组Ax=b的三个解为α1，α2 ，α3，已知α1=(1,2,3,4)T, α2 +α3=（3，5，7，9）T，r(A)=3.则方程组的通解是为任意常数. 【解】r(A)=3，Ax=0的基础解系所含解向量个数是1个。线性相关，则可由基础解系通解为为任意常数 2.部分组线性相关则整体组线性相关；整体组线性无关则任意部分组线性无关. 3.线性无关的向量组的每个向量都添加m个分量后仍线性无关。 4.含零向量的向量组必线性相关． 5.如果向量组，…，6.向量组，…，可由向量组，…，线性表示，且，，则线性相关.（多数向量可由少数向量线性表示，多数向量必线性相关.）线性无关，而向量组线性表示，且表示法唯一。线性相关，则可由17.设方程组有非零解，且数λ＜0，则. 定理n元齐次线性方程组； (1)有非零解（无穷多解）的充分必要条件3 / 6

(2)只有零解的充分必要条件. 【解】【解】有非零解（无穷多解）的充分必要条件所以. ；故，又λ＜0，22.解矩阵方程

18.设矩阵

a=____2______. 【解】有一个特征值，对应的特征向量为，则数

【解】移项，将原方程化为 19.设3阶方阵A的秩为2，且,则A的全部特征值为____________. 【解】A的秩为2，说明特征根有一个为零，，解得两个根，3阶说明有一个是重根，所以20.设实二次型范形为

. ，已知A的特征值为-1，1，2，则该二次型的规

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

所以 21.计算行列式的值.

4 / 6

23.设向量

一个极大无关组.

,问p为何值时，该向量组线性相关？并在此时求出它的秩和

时，方程组无解时：方程组有无穷多解时：时，时，为满秩时，所以方程组有唯一解；， . 【解】（2）当时，向量解得齐次方程的基础解系为组线性相关，秩4，故（或【注】定理 1.向量组2.向量组）是向量组线性相关线性无关矩阵矩阵，此时向量组的一个极大无关组. 通解的秩的秩【注】定理1元线性方程组（1）有解的充分必要条件是24.设3元线性方程组

，

若（2）无解的充分必要条件是（1）确定当λ取何值时，方程组有惟一解、无解、有无穷多解？

（2）当方程组有无穷多解时，求出该方程组的通解（要求用其一个特解和导出组的

基础解系表示）【解】（1）设方程组的系数矩阵为，

,有唯一解；若； ,有无穷多组解．，其中为任意常数. 的秩是3.，特解为，故 25.求矩阵的全部特征值及其对应的全部特征向量.

【解】方程组有惟一解时：当且的特征值为， 5 / 6

因此ATA是可逆矩阵.

（1）当时，由，解得基础解系，故的属于的全部特征向量为（2）当时，由. ，解得基础解系，故的属于的全部特征向量为. （3）当时，由. ，解得基础解系，故的属于的全部特征向量为26.用配方法化二次型出所作的可逆线性变换. 【解】

为标准形，并写

令则经线性变换

将二次型化为标准型

四、证明题（本题6分）