因为C的离心率为22，所以c?a2， ① 2······ 3分
又因为a2?c2?b2，所以a2?c2?2， ②
联立①② ，解得a2?4， ············· 4分
x2y2所以C的方程为??1. ·············
425分
3（2）证明：①当直线l斜率不存在时, 直线l的方程为x?2，或x??23．
3当x?233232uuruuur443时，A(2u3,3),B(33,?233)，则OA?OB?3?3?0，故OA?OB．同理可证，当x??233时，OA?OB． ········· 6分
②当直线l斜率存在时，设其方程为y?kx?m,A(x1,y1),B(x2,y2), 因为直线l与圆相切，所以23|3?|mk2?1，即3m2?4k2?4?0, 7分
??y?kx?m,由?得，(1?2k2)x2?4kmx?2m2?4?0, ······· 8分
?x2y2?4?2?1?x4km所以1?x??,??16k2m2?8?1?2k2??m2?2??8?4k2?m2?2?＞0，且??2?1?2k2 ???x2m2?41x2?1?2k2, ························ 9分 所以OAuuur?OBuuur?x1x2?(kx1?m)(kx2?m)
?(1?k2)x1x2?km(x1?x2)?m2
········ 10分
(1?k2)(2m2?4)?4k2m2?m2(1?2k2?)1?2k2
?3k2?4m2?41?2k2
?0， ················
11分
所以OA?OB.
综上，OA?OB. ·················· 12分 解法二：（1）同解法一． ············· 5分
数学试题（第11页 共15页）
3 （2）①当直线方程为y?233时, A(?23232323,),B(,)，则 3333uuuruuur44OA?OB????0，故OA?OB.
33同理可证，当直线方程为y??233时，OA?OB. ····· 6分
②当直线l不与x轴平行时,设其方程为x?ty?m,A(x1,y1),B(x2,y2), 因为直线l与圆相切，所以233?|m|t2?1，即3m2?4t2?4?0. · 7分
8分
?x?ty?m,由?得，(t2?2)y2?2tmy?m2?4?0. ········ ?x2y2?1???422tm?y?y??,122??t?2所以??4t2m2?4t2?2m2?4?82t2?m2?4＞0，且?92m?4?yy?.12?t2?2?uuuruuurOA?OB?y1y2?(ty1?m)(ty2?m)
??????分
?(1?t2)y1y2?tm(y1?y2)?m2 ··········· 10分
(1?t2)(m2?4)?2t2m2?m2(t2?2)?
t2?23m2?4t2?4?
t2?211?0， ··················
所以，OA?OB．
分
综上，OA?OB. ················· 12分
21．本小题主要考查导数及其应用、函数的零点、函数的最值与值域等基础知
识，考查推理论证能力、运算求解能力、抽象概括能力等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等，考查的数学素养主要有逻辑推理、直观想象、数学运算等．满分12分． 【解答】（1）f/?x??a?cosx?xsinx?， ········· 1分
??0,因为x????，所以cosx＞sinx≥0，又1＞x≥0，
?6?所以1?cosx＞xsinx，即cosx?xsinx?0． ········ 2分
数学试题（第12页 共15页）
π?0,当a?0时，f/?x??0，所以f?x?在区间???上递增，
?6?所以f?x?max??3???f???a???1?62?6?3??1，解得a?2． 6··· 3分
π?0,当a?0时，f/?x??0，所以f?x?在区间???上递减，
?6?所以f?x?max?f?0???1，不合题意． ·········· 4分 当a?0，f?x???1，不合题意．
综上，a?2. ·················· 5分 （2）设g?x??cosx?xsinx，
??则g/?x???2sinx?xcosx?0??0?x??， ·········· 6分
?2???????所以g?x?在??0,?上单调递减，又g?0??1?0,g?????2??2?2?0， · 7分
??所以存在唯一的x0???0,?，使得g?x0??0， ······ 8分
?2?当0?x?x0时，g?x??0，即f/?x??2g?x??0，所以f?x?在?0,x0?上单调递增；当x0?x??时，g?x??0，即f/?x??2g?x??0，所以f?x?在?0,x0?上单调递减， 9分
??又f?0???1?0,f?????4?2??1?0,4???······· 10f????1?0，
2??2分
π??ππ?0,所以f?x?在?与11分 ???,?上各有一个零点， ·····
?4??42???综上，函数f?x?在区间?12分 ?0,?上有且仅有两个零点. ··
?2?（二）选考题：共10分．请考生在第22，23两题中任选一题作答．如果多做，
则按所做第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．
22．本题考查极坐标方程和直角坐标方程的互化，直线和圆的位置关系，以及
直线的参数方程的参数的几何意义等基础知识,考查学生的逻辑推理能力,化归与转化能力．考查的核心素养是直观想象、逻辑推理与数学运算. 【解答】（1）由??2cos?，得?2?2?cos?． ····· 2分
数学试题（第13页 共15页）
将??x??cos?,代入得，x2?y2?2x， ··········
y??sin??4分
所以C的直角坐标方程为(x?1)2?y2?1． ······· 5分 （2）设A,B所对应的参数分别为t1,t2， 因为直线l?3x?5?t,??2(t为参数)，所以的参数方程为??y?3?1t??23t?18?0,
M(5,3)在l上, 6分
把l的参数方程代入(x?1)2?y2?1可得t2?5所以??(5·· 7分
8分
3)2?4?18?3?0， ·············
所以t1?t2??5故
11?MAMB3,t1t2?18＞0， ············ 9分
. ····· 10分
=|MA|?|MB|?|MA|?|MB||t1|?|t2||t1?t2|53??|t1||t2||t1t2|1823．本题考查含有绝对值的函数的最值，基本不等式的应用等基础知识,考查学
生的逻辑推理能力,化归与转化能力.考查的核心素养是直观想象、逻辑推理与数学运算.
【解答】（1）根据题意,函数
11?3x?,x≥,1??22f(x)?|2x?1|?x??? 2
312??x?,x?,??22分
1??1???,所以f(x)为在?单调递减，在·· 3分 ???,???单调递增，
?2??2?所以f(x)min??1?f???1,即m?1. ············· ?2?5分
（2）由(1)知，m?1，所以a?b?c?1, ········ 6分 又因为a,b,c为正实数，
a2?b2≥2ab，b2?c2≥2bc，a2?c2≥2ac，
······· 8分
所以2?a2?b2?c2?≥2?ab?bc?ac?，即a2?b2?c2≥ab?bc?ac， 9分 所以1?(a?b?c)2?a2?b2?c2?2ab?2bc?2ca3≤3(a2?b2?c2)，
即a2?b2?c2≥1． ················ 10分
数学试题（第14页 共15页）
数学试题（第15页 共15页）
【期末试卷】2019—2020学年度第一学期福州市高三期末质量检测文科数学试卷及答案
