高等数学基础作业1
第一章 函数 第二章 极限与连续 一、单项选择题 CCBCDCA 二、填空题
21、xx?3 2、x?x 3、e 4、e 5、x?0 6、无穷小量
??三、计算题
1、解:f(?2)??2 f(0)?0 f(1)?e
2x?1?0 x1
得:x?0或x?
2
2、解:
所以定义域为?xx?0或x???1?? 2?3、解:设梯形的面积为y,高为x,则:
1(2R2?x2?2R)x?xR2?x2?xR (0?x?R) 2sin3x3sin3x2x334、解:lim?lim???1?1?
x?0sin2xx?023xsin2x22y?x2?1x?1?lim?(x?1)?1?(?2)??2 5、解:limx??1sin(x?1)x??1sin(x?1)6、解:limtan3xsin3x1?lim3???3?1?1?3
x?0x?0x3xcos3x1?x2?1(1?x2?1)(1?x2?1)x27、解:lim=lim=lim
x?022x?0x?0sinxsinx(1?x?1)sinx(1?x?1)=limxx=1?0=0 ?2x?0sinx(1?x?1)x11?x?1(1?)xlim[(1?)]e?1?4x???x?1??xx8、解:lim?==3=e ?=lim3x??x??x?33e????(1?)xx?x13?lim?(1?)?x???3???x??x2?6x?8(x?4)(x?2)x?22?lim?lim? 9、解:lim2x?4x?5x?4x?4(x?4)(x?1)x?4x?1310、解:?lim?f(x)?(1?2)?1 lim?f(x)?1
x?12x?1?limf(x)?1 又?f(1)?1 ?limf(x)?f(x)
x?1x?1所以:f(x)在x?1处连续
?lim?f(x)??1 lim?f(x)?0 ?lim?f(x)?lim?f(x)
x??1x??1x??1x??1所以:f(x)在x??1处不连续
综上所述,f(x)在x??1处不连续,在其它地方都连续。
第三章 导数与微分 一、单项选择题 BDADC
二、填空题
251lnx? 3、 4、y?1 xx212xlnx(lnx?1) 6、 5、2ex1、0 2、三、计算题
1、求下列函数的导数y:
'3xx'3x?xx?3)ex (1)解:y=x2e?(xx?3)e?(22(2)解:y=?cscx?2xlnx?x?'1221??csc2x?2xlnx?x x2xlnx?x2?(3)解:y=(4)解:
'ln2x1x?2xlnx?x
ln2x(?sinx?2xln2)x3?(cosx?2x)3x2?xsinx?2xxln2?3cosx?3?2xy= ?6x4x'1(?2x)sinx?(lnx?x2)cosx(1?2x2)sinx?x(lnx?x2)cosx'x(5)解:y= ?22sinxxsinx11'33(6)解:y=4x?(cosxlnx?sinx)?4x?cosxlnx?sinx
xx(cosx?2x)3x?(sinx?x2)3xln3cosx?2x?sinxln3?x2ln3?(7)解:y=
32x3x'(8)解:y=etanx?esecx?2、求下列函数的导数y: (1)解:y=e(2)解:y=(3)解:y?''''xx21 xx?12x?ex2x
1?(?sinx)??tanx cosxxxx?x
178?'78xy 所以:= 8(4)解:y=2sinxcosx?sin2x (5)解:y=2xcosx (6)解:y=?esine (7)解:
'''2xxy'=nsinn?1xcosxcosnx?nsinnx(?sinnx)?nsinn?1xcosxcosnx?nsinnxsinnx
(8) 解:y=5(9) 解:y=e''sinxln5?cosx?5sinxcosxln5 (?sinx)??ecosxsinx
'cosx3、在下列方程中,y?y(x)由方程确定的函数,求y: (1)解:ycosx?y(?sinx)?e(2)解:y??ysinylnx?'''2y?2y' 得:y'=
ysinx 2ycosx?2ecosy1 cosy 得:y'=
x(1?sinylnx)x2xy?x2y'2xy?2y2siny'(3)解:2siny?2xycosy? 得:y?2 22yx?2xycosy'(4)解:y?1?'1'y?y 得:y'? yy?1(5)解:
11 ?eyy'?2yy' 得:y'?yx(2y?e)xexsiny(6)解:2yy?esiny?eycosy 得:y? x2y?ecosy'xx''ex(7)解:e?y?e?3yy 得:y?y 2e?3yy'x2''5xln5(8)解:y?5ln5?2yln2 得:y? y1?2ln2'xy''4、求下列函数的微分dy:
(1)dy?(?cscx?cscxcotx)dx
21sinx?lnxcosxsinx?xlnxcosx(2)dy?xdx?dx 22sinxxsinx(3)dy?2sinxcosxdx?sin2xdx (4)dy?esecedx 5、求下列函数的二阶导数:
x2x1?21?2\(1)y?x 所以:y??x
24'13
(2)y?3ln3 所以:y?3ln3 (3)y?''x\x2'11\ 所以:y??2 xx\(4)y?sinx?xcosx 所以:y?cosx?cosx?xsinx?2cosx?xsinx 四、证明题
证明:?f(x)是奇函数 ?f(?x)??f(x)
?f(x)可导 ?[f(?x)]'?[?f(x)]' 即 :?f'(?x)??f'(x), ?f'(?x)?f'(x)
所以:f(x)是偶函数
第四章 导数的应用 一、单项选择题 DCACCA 二、填空题
'1、极小 2、0 3、(??,0) 4、?0,??? 5、f(a) 6、?0,2? 三、计算题
1、解:y?(x?5)?(x?1)?2(x?5)?3x?18x?15?3(x?1)(x?5) 令y?0,得:x1?1 x2?5 列表如下: x 1 0 极大值 5 0 极小值 ''22???,1? ? ?1,5? - ?5,??? ? y' y f(1)?32 f(5)?0 所以:单调增加取间为:???,1?和?5,???;单调减少区间为:?1,5? ; 点x?1是极大点,相应的极大值是32;点x?5是极小点,相应的极小值是0。
2、解:y?2x?2?2(x?1) 令y?0,得:x?1 列表如下:
x ''???,1? - 1 0 极小值 ?1,??? ? y' y f(1)?2 而且f(0)?3,f(3)?6
所以:点x?1是函数的极小点,相应的极小值是2;函数最大值是f(3)?6,最小值是
f(1)?2
?y2?3、解:设曲线y?2x上的点为??2,y??,它到点A(2,0)的距离为:
??2
电大高等数学形成性考核答案
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