范文 范例 学习 指导
(ⅰ)掌握隐函数和参数方程所确定函数的一阶导数,并学会计算简单的二阶导数。 (ⅱ)学会对数求导法。
*(ⅲ)学会解决一些简单实际问题中的相关变化率问题。 Ⅱ 基本题型
(ⅰ)涉及隐函数和参数方程所确定函数的一阶导数问题 16. 求由下列方程所确定的隐函数y?y(x)的导数 (1)(7分)x?y?3axy?0
33dy: dx3ay?3x2ay?x2 解:3x?3yy?3a(y?xy)?0,y? ?223y?3axy?ax22'''(2)(7分)y?1?xe
y?eyey解:y??e?xey,y? ?yy?21?xe'yy''17.(7分)求曲线x?y12323?a在点(12322a,a)处的切线方程及法线方程。 44y2?32?3''解:方程求导得:x?y?y?0,y??3,k??1
x33 切线方程为 y??x?18.(7分)设y?(解:lny?xln2a, 法线方程为 y?x 2xxdy),求. 1?xdxx1??ln??x?11?x? ??1?xxx?',y?y?lnx?ln(x?1)?=()?1?x1?x??1?x19.求下列参数方程所确定的函数的导数
dy. dx(1)(7分)?解:
?x??(1?sin?)
?y??cos?dydx?cos???sin?,?1?sin???cos? d?d?dycos???sin?? dx1?sin???cos??x?ln(1?t2)(2)(7分)?
?y?t?arctant word整理版
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dy1t2dx2t?1???解:, dtdt1?t21?t21?t2dyt2t??
dx2t2?x?etsin2t20.(7分)求曲线?在点(0,1)处的切线方程及法线方程。 2ty?ecost?dydx?2e2tcost?e2tsint,?et?sin2t?2cos2t? dtdtdydy22cost?sint ,?x?0,y?1,t?0,k????1
dx2dxsin2t?2cos2t解:
切线方程为x?y?1?0 法线方程为 x?y?1?0
Ⅲ 综合应用题型
(ⅰ)有关变化率及*相关变化率的实际问题
21.(8分)设质点的位移函数S?t?1.5t?t,t?0,其中t和S的单位为s和m, 问:(1)何时质点达到5ms的速度? (2)求t?3s时,质点运动的加速度。 解:(1)
32
ds?3t2?3t?1?5?t?1(t??2) dtt?3 (2)a?21(m/s2)
222.(8分)在一新陈代谢实验中葡萄糖的含量为m?5?0.02t,其中t的单位为h,求1h后葡萄糖量的变化率。 解:
dmdtt?1??0.04tt?1??0.04
23.(8分)在温度不变的条件下,压缩气体的体积与压强之间的关系为pV?C,求体积关于压强的变化率。 解;v?Cdv???Cp?2 pdp3*24.(8分)设一球状雪球正在融化,其体积以1cmmin的速率减小,问雪球直径为
10cm时,直径的减小率为多少?
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解: V?1??D3?Vt'?D2Dt' 62 ?1??2102Dt'D?10?Dt'D?10??1(cmmin) 50?*25.(8分)设12:00时甲船位于乙船西100km处,甲船以35kmh的速度向南航行,而乙船以25kmh的速度向北航行,求16:00时两船距离的增加率。 解: S?1002?(60t)2,S?t?4?2?60t?602100?(60t)22t?4?55.4km/h.
*26.(8分)一架巡逻直升机在距地面3km的高度以120kmh的常速沿着一条水平笔直的高速公路向前飞行,飞行员观察到迎面驶来一辆汽车,通过雷达测出直升机与汽车间的距离为5km,并且此距离以160kmh的速率减少,试求出汽车行进的速度。 解:S?(4?120t?4t)2?9,S't?0?(4?120t?vt)(?120?v)(4?120t?vt)?92t?0??160
即
4(120?v)?160?v?80(km/h) 5Ⅳ 提高题型
(ⅰ)涉及隐函数和参数方程所确定函数的二阶导数题型 27.(7分)设y?tan(x?y)确定了y?y(x),求y??(x). 解:y?sec(x?y)(1?y),y??'2''1 2sin(x?y)223 y??(x)?2csc(x?y)cotx(?y)(1?y?)??2csc(x?y)cot(x?y)
?x?ln(1?t2)d2y. 28.(7分)设?,求2dx?y?arctant解:
dydy11dx2t??,,? 22dt1?tdt1?tdx2t?12d2yd1?t2'2t?(y)??? 232tdxdx4t1?t229.(7分)设??x?arctant确定了y?y(x),求y??(0). 2t?2y?ty?e?5 word整理版
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1y2?et'2't'解:(1) x?,2yt?(y?2tyyt)?e?0?yt? 22?2yt1?t'tdyyt(y2?et)(1?t2)?'?dxxt2(1?yt)'y'(0)?32(x?0,t?0,y?2)
\'''2\t(2) 2yt?(2yyt??2yyt?2t(yt)?2tyyt)?e?0
yt\(2?2ty)?4yyt'?2t(y')2?et
y\tt?04yy'?2t(y')2?et?2(1?yt)f(y)yt?0?1111,代入公式得 y??(0)?
2230.(7分)设y?y(x)由方程xe解: lnx?f(y)?y,
d2y. ?e所确定,其中f二阶可导,且f??1,求dx21?1?f'(y).y'?y'?2?f\(y)(y')2?f'(y).y\?y\ xx1'\ y?,y?'x1?f(y)?x?2?f\(y)??x21?f'(y)1?f'(y)22?1?2
?x?1?f ?2?1?f'(y)'?(y)?'?f\(y)1?f(y)'1x21?f'(y)??2
?f\(y)?1?f'(y)x1?f(y)2????23
?x?f?(t)d2y. 31.(7分)设?,且f??(t)?0,求2?dxy?tf(t)?f(t)?解:
dydx?f'(t)?tf\(t)?f'(t)?tf\(t),?f\(t) dtdtd2yddy1?t,2?(y')?\ dxdxdxf(t)二 微分(A见§2.5);(B见§2.4)
Ⅰ 内容要求
(ⅰ)理解微分的概念,了解微分的概念中所包含的局部化线性思想。 (ⅱ)了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。
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(ⅲ)自学微分在近似计算中的应用。 Ⅱ 基本题型
(ⅰ)求函数的微分题型
32. 求下列函数的微分
(1)(5分)y? dy?(xsinsin?x1 x12x111?x?2cos)dx xxx(2)(5分)y?e dy??e?xcos(3?x)
?cos(3?x)?sin(3?x)?dx
xx?121?x?,dy?ydx?'2x21?x2dx
(3)(5分)y?1?x232 ?1(1?x2)dx
33. 在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使等式成立(每空3分)
43?cos?xx?C)?4x2dx (2)d(?C)?sin?xdx 3?11 (3)d(ln(x?1)?C)?dx (4)d(?e?2x?C)?e?2xdx
x?12 (1)d(34. 填空(每空3分) (1)dlnx? ?x d2x11? (2)d darctanx ?x1?x21?x2 Ⅲ 提高题型
(ⅰ)涉及微分在近似计算中的应用题型(自学)
35.(7分)计算球体体积时,要求精确度在2 %以内,问这时测量直径D的相对误差不能超过多少?
??VV'4313??D?3D 解:V??r??D,则
36VVD
1?V?D?D1?V1????2o?6.67ooo ,
o3VDD3V3
36.(7分)已知单摆的振动周期T?2?l2,其中g?980cms,l为摆长(cm),g设原摆长为20cm,为使周期T增大0.05s,摆长约需加长多少?
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第二章 导数和微分答案解析
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