范文 范例 学习 指导
（ⅰ）掌握隐函数和参数方程所确定函数的一阶导数，并学会计算简单的二阶导数。 （ⅱ）学会对数求导法。
*（ⅲ）学会解决一些简单实际问题中的相关变化率问题。 Ⅱ 基本题型
（ⅰ）涉及隐函数和参数方程所确定函数的一阶导数问题 16. 求由下列方程所确定的隐函数y?y(x)的导数 （1）（7分）x?y?3axy?0
33dy： dx3ay?3x2ay?x2 解：3x?3yy?3a(y?xy)?0，y? ?223y?3axy?ax22'''（2）（7分）y?1?xe
y?eyey解：y??e?xey，y? ?yy?21?xe'yy''17．（7分）求曲线x?y12323?a在点(12322a,a)处的切线方程及法线方程。 44y2?32?3''解：方程求导得：x?y?y?0，y??3，k??1
x33 切线方程为 y??x?18．（7分）设y?(解：lny?xln2a, 法线方程为 y?x 2xxdy)，求. 1?xdxx1??ln??x?11?x? ??1?xxx?'，y?y?lnx?ln(x?1)?=()?1?x1?x??1?x19．求下列参数方程所确定的函数的导数
dy. dx（1）（7分）?解：
?x??(1?sin?)
?y??cos?dydx?cos???sin?，?1?sin???cos? d?d?dycos???sin?? dx1?sin???cos??x?ln(1?t2)（2）（7分）?
?y?t?arctant word整理版
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dy1t2dx2t?1???解：， dtdt1?t21?t21?t2dyt2t??
dx2t2?x?etsin2t20．（7分）求曲线?在点(0,1)处的切线方程及法线方程。 2ty?ecost?dydx?2e2tcost?e2tsint，?et?sin2t?2cos2t? dtdtdydy22cost?sint ，?x?0,y?1,t?0，k????1
dx2dxsin2t?2cos2t解：
切线方程为x?y?1?0 法线方程为 x?y?1?0
Ⅲ 综合应用题型
（ⅰ）有关变化率及*相关变化率的实际问题
21．（8分）设质点的位移函数S?t?1.5t?t,t?0，其中t和S的单位为s和m， 问：（1）何时质点达到5ms的速度？ （2）求t?3s时，质点运动的加速度。 解：（1）
32
ds?3t2?3t?1?5?t?1(t??2) dtt?3 （2）a?21(m/s2)
222．（8分）在一新陈代谢实验中葡萄糖的含量为m?5?0.02t，其中t的单位为h，求1h后葡萄糖量的变化率。 解：
dmdtt?1??0.04tt?1??0.04
23．（8分）在温度不变的条件下，压缩气体的体积与压强之间的关系为pV?C，求体积关于压强的变化率。 解；v?Cdv???Cp?2 pdp3*24．（8分）设一球状雪球正在融化，其体积以1cmmin的速率减小，问雪球直径为
10cm时，直径的减小率为多少？
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解： V?1??D3?Vt'?D2Dt' 62 ?1??2102Dt'D?10?Dt'D?10??1(cmmin) 50?*25．（8分）设12：00时甲船位于乙船西100km处，甲船以35kmh的速度向南航行，而乙船以25kmh的速度向北航行，求16：00时两船距离的增加率。 解： S?1002?(60t)2,S?t?4?2?60t?602100?(60t)22t?4?55.4km/h.
*26．（8分）一架巡逻直升机在距地面3km的高度以120kmh的常速沿着一条水平笔直的高速公路向前飞行，飞行员观察到迎面驶来一辆汽车，通过雷达测出直升机与汽车间的距离为5km，并且此距离以160kmh的速率减少，试求出汽车行进的速度。 解：S?(4?120t?4t)2?9，S't?0?(4?120t?vt)(?120?v)(4?120t?vt)?92t?0??160
即
4(120?v)?160?v?80(km/h) 5Ⅳ 提高题型
（ⅰ）涉及隐函数和参数方程所确定函数的二阶导数题型 27．（7分）设y?tan(x?y)确定了y?y(x)，求y??(x). 解：y?sec(x?y)(1?y)，y??'2''1 2sin(x?y)223 y??(x)?2csc(x?y)cotx(?y)(1?y?)??2csc(x?y)cot(x?y)
?x?ln(1?t2)d2y. 28．（7分）设?，求2dx?y?arctant解：
dydy11dx2t??，，? 22dt1?tdt1?tdx2t?12d2yd1?t2'2t?(y)??? 232tdxdx4t1?t229．（7分）设??x?arctant确定了y?y(x)，求y??(0). 2t?2y?ty?e?5 word整理版
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1y2?et'2't'解：（1） x?，2yt?(y?2tyyt)?e?0?yt? 22?2yt1?t'tdyyt(y2?et)(1?t2)?'?dxxt2(1?yt)'y'(0)?32(x?0,t?0,y?2)
\'''2\t（2） 2yt?(2yyt??2yyt?2t(yt)?2tyyt)?e?0
yt\(2?2ty)?4yyt'?2t(y')2?et
y\tt?04yy'?2t(y')2?et?2(1?yt)f(y)yt?0?1111，代入公式得 y??(0)?
2230．（7分）设y?y(x)由方程xe解： lnx?f(y)?y，
d2y. ?e所确定，其中f二阶可导，且f??1，求dx21?1?f'(y).y'?y'?2?f\(y)(y')2?f'(y).y\?y\ xx1'\ y?，y?'x1?f(y)?x?2?f\(y)??x21?f'(y)1?f'(y)22?1?2
?x?1?f ?2?1?f'(y)'?(y)?'?f\(y)1?f(y)'1x21?f'(y)??2
?f\(y)?1?f'(y)x1?f(y)2????23
?x?f?(t)d2y. 31．（7分）设?，且f??(t)?0，求2?dxy?tf(t)?f(t)?解：
dydx?f'(t)?tf\(t)?f'(t)?tf\(t)，?f\(t) dtdtd2yddy1?t，2?(y')?\ dxdxdxf(t)二 微分（A见§2.5）；（B见§2.4）
Ⅰ 内容要求
（ⅰ）理解微分的概念，了解微分的概念中所包含的局部化线性思想。 （ⅱ）了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。
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（ⅲ）自学微分在近似计算中的应用。 Ⅱ 基本题型
（ⅰ）求函数的微分题型
32. 求下列函数的微分
（1）（5分）y? dy?(xsinsin?x1 x12x111?x?2cos)dx xxx（2）（5分）y?e dy??e?xcos(3?x)
?cos(3?x)?sin(3?x)?dx
xx?121?x?，dy?ydx?'2x21?x2dx
（3）（5分）y?1?x232 ?1(1?x2)dx
33. 在下列等式左端的括号中填入适当的函数，使等式成立（每空3分）
43?cos?xx?C)?4x2dx （2）d(?C)?sin?xdx 3?11 （3）d(ln(x?1)?C)?dx （4）d(?e?2x?C)?e?2xdx
x?12 （1）d(34. 填空（每空3分） （1）dlnx? ?x d2x11? （2）d darctanx ?x1?x21?x2 Ⅲ 提高题型
（ⅰ）涉及微分在近似计算中的应用题型（自学）
35．（7分）计算球体体积时，要求精确度在2 %以内，问这时测量直径D的相对误差不能超过多少？
??VV'4313??D?3D 解：V??r??D，则
36VVD
1?V?D?D1?V1????2o?6.67ooo ，
o3VDD3V3
36．（7分）已知单摆的振动周期T?2?l2，其中g?980cms，l为摆长(cm)，g设原摆长为20cm，为使周期T增大0.05s，摆长约需加长多少？
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第二章 导数和微分答案解析
