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第二章 导数与微分
一 导数
(一) 导数的概念(见§2.1) Ⅰ 内容要求
(ⅰ)理解导数的概念及其几何意义,了解函数的可导性与连续性之间的关系。
(ⅱ)了解导数作为函数变化率的实际意义,会用导数表达科学技术中一些量的变化率。 Ⅱ 基本题型
(ⅰ)用导数定义推证简单初等函数的导数公式
1. 用导数定义求证下列导数公式,并记忆下列公式(每题4分)
(1)(C)??0 (2)()???1x11?(x)? (3)
x22xx(4)(cosx)???sinx (5)(a)??alna (6)(x)???x(ⅱ)确定简单基本初等函数在某点处的切线方程和法线方程 2.(6分)求y?lnx在(1,0)点处的切线方程及法线方程。 解:y?'x???1
1',y(1)?k?1,所以 x 切线方程为y?x?1 法线方程为y??x?1 3.(6分)求y?34xx在(1,1)点处的切线方程。
?1'33'解:y?x,y?x4,y(1)?k?
44 切线方程为y?331(x?1)?1,即y?x? 444(ⅲ)科技中一些量变化率的导数表示
4.填空题(每题4分)
(1)若物体的温度T与时间t的函数关系为T?T(t),则该物体的温度随时间的变化
速度为 T(t)
(2)若某地区t时刻的人口数为N(t),则该地区人口变化速度为 N(t) Ⅲ 疑难题型
(ⅰ)分段函数在分段点处的导数计算
5. 讨论下列函数在x?0处的连续性与可导性
(1)(7分)y?|sinx|
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解:在x?0处连续但不可导
1?xsin,x?0?x(2)(7分)y?? ?0,x?0?解:limy?f(0)?0
x?0?xsin?x?0lim1?01?x不存在, ?limsin?x?0?x?x 所以f(x)在x?0处连续但不可导
?x2,x?0???6.(8分)已知:f(x)??,求f?(0),f?(0),f?(0),f?(x).
??x,x?0?解:f??(0)=lim?x?0f(0?x)?f(0)?x?0?lim???1 x?0xxf(0?x)?f(0)x2?0?lim??0,?f'(0)不存在 f??(0)?lim?x?0x?0xx ?f(x)??'?2x,x?0
??1,x?0(ⅱ)用导数定义解决的有关抽象函数的题型(自学)
f(2x)?f(?3x).
x?0xf(2x)?f(0)?f(?3x)?f(0)f(2x)?f(?3x)解:lim=lim
x?0x?0xxf(2x)?f(0)?f(?3x)?f(0) =lim+lim
x?0x?0xx7.(7分)设f(0)?0,f?(0)?1,求lim =2f(0)?3f(0)?5
8.(7分)对任取的x,y,总有f(x?y)?f(x)?f(y),且f(x)在x?0处可导, 求证:f(x)在(??,??)上处处可导。
解:?f(x?y)?f(x)?f(y),取x?y?0 ?f(0)?0 ?f(x)?lim'?x?0f(x??x)?f(x)f(x)?f(?x)?f(x)?lim ?x?0?x?x?lim?x?0f(?x)?f(0)?f'(0) 即f(x)在(??,??)上处处可导。
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(二) 初等函数求导(见A §2.2, §2.3);(B §2.2) Ⅰ 内容要求
(ⅰ)记忆基本导数表,掌握四则求导法则及复合求导法则,了解反函数求导法则。 (ⅱ)了解高阶导数的概念,掌握初等函数一阶及二阶导数的求法,自学求函数n阶导数
的一般表达式。 Ⅱ 基本题型
(ⅰ)初等函数一阶及二阶导数的计算题型 9. 求下列函数的一阶导数(每题4分)
x2(1)y?2?x, y?2?xln2?2'x2x?1?x
s?sinx) (2)y?3ecosx y?3e(coxx'xxlnx?lnxx2x2?lnx(3)y? y'?, ?xx2xxarcsinx'(4)y? y?arccosx ?arccox.s1arcsxin?arccoxs1?x21?x2 ?22(arccxo)2s1?x(arccxo)s?arcsxin?21?x(arccosx)222
(5)y?2x y'?2xln2?2x?2x(6)y?e?x222?1x?ln2
1?cos6x y??e2(cos6x?12sin6x)
2'x(7)y?arctanx?1' y?x?1(x?1)?(x?1)11??? 22x?12(x?1)x?11?()x?11x?x?a22(8)y?ln(x?x2?a2),y'?(1?xx?a22)?1x?a22
10. 求下列函数在给定点处的函数值(每题6分) (1)???sin??d?1cos?,求
d?2???4
解:
d?11?sin???cos??sin???cos??sin? d?22 word整理版
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d?d????4?2?22??(2??) 848(2)y?x?x,求y?(1). 1?12x?2x?14xx?x,y(1)?'解:y?'2x?x(3)y?32 811??,求y?().
1?|sinx|1?|sinx|3解:?x?(0,'?22),?y?11??2sec2x
1?sinx1?sinxx,y'()?4sec2 y?4secxtan??33tan?3?163
(4)y?ln(secx?tanx),求y?().
?6解:y?''1(secxtanx?sec2x)?secx
secx?tanx y()?sec???6623 311. 求下列函数的二阶导数(每题7分) (1)y?1?lnx y'??x?2?x?1,y\?2x?3?x?2 x'2\2(2)y?tanx y?secx,y?2secxtanx
e2x(4x2?4x?2)2xe2x?e2xe2x'\(3)y? y?,y?
xx2x32(a2?x2)2x\(4)y?ln(x?a) y?2,y? 222x?a2(x?a)22'(5)y?ln1?x1?11?1'?? y??? 21?x2?1?x1?x?x?1?y\??2x 22(x?1)(6)y?ln(x?
x2?a2),y'?1x?a22,y\??x(x2?a2)32
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Ⅲ 提高题型
(ⅰ)有关抽象函数的求导问题
12.(7分)设函数f(x)和g(x)可导,且f(x)?g(x)?0,试求:
22ddx?f2(x)?g2(x).
?d解:
dx?f(x)?g(x).?22?f?f'?g?g'f?g22
13.(7分)设f(x)二阶可导,设y?f(sinx)?f(cosx),求y?(x),y??(x). 解:y?(x)?sin2xf(sinx)?sin2xf(cosx)=sin2x[f(sinx)?f(cosx)]
'2'2'2'222y??(x)?2cos2xf'(sin2x)?f'(cos2x)?sin22xf\(sin2x)?f\(cos2x)
????dx1d2xy???导出:2??14.(7分)试从. 3?dyydy(y?)1')xy'?y\1?y\d2xddxd1?()?(')??'2.'?'3 解:2dydydydyydy(y)y(y)dx((ⅱ)有关n阶导数的计算题型(自学)
15. 求下列函数n阶导数的一般表达式(每题7分) (1)y?1(n)n?n?1 y?(?1)n!(x?a) x?a11(n)n?(n?1)(2)y?2 y?(?1)n!(x?3)?(x?1)?(n?1)
4x?2x?31111y(x)?(?),y'(x)?(?1)(x?3)?2?(?1)(x?1)?2
4x?3x?141?3?3 y??(x)?(?1)(?2)(x?3)?(?1)(?2)(x?1)
41'\?4?4 y(x)?(?1)(?2)(?3)(x?3)?(x?1)
4????????(3)y?ln(1?x) y(4)y?sinx?2(n)?(?1)n?1(n?1)!(1?x)?n
1n?(1?cos2x) y(n)??2n?1cos(2x?) 22(n)x(5)y?xe y?(x?n)ex
(二) 隐函数、参数方程所确定函数的求导问题及相关变化率问题
(A见§2.4);(B见§2.3) Ⅰ 内容要求
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第二章 导数和微分答案解析
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