范文 范例 学习 指导
第二章 导数与微分
一 导数
（一） 导数的概念（见§2.1） Ⅰ 内容要求
（ⅰ）理解导数的概念及其几何意义，了解函数的可导性与连续性之间的关系。
（ⅱ）了解导数作为函数变化率的实际意义，会用导数表达科学技术中一些量的变化率。 Ⅱ 基本题型
（ⅰ）用导数定义推证简单初等函数的导数公式
1． 用导数定义求证下列导数公式，并记忆下列公式（每题4分）
（1）(C)??0 （2）()???1x11?(x)? （3）
x22xx（4）(cosx)???sinx （5）(a)??alna （6）(x)???x（ⅱ）确定简单基本初等函数在某点处的切线方程和法线方程 2．（6分）求y?lnx在(1,0)点处的切线方程及法线方程。 解：y?'x???1
1'，y(1)?k?1，所以 x 切线方程为y?x?1 法线方程为y??x?1 3．（6分）求y?34xx在(1,1)点处的切线方程。
?1'33'解：y?x，y?x4，y(1)?k?
44 切线方程为y?331(x?1)?1，即y?x? 444（ⅲ）科技中一些量变化率的导数表示
4．填空题（每题4分）
（1）若物体的温度T与时间t的函数关系为T?T(t)，则该物体的温度随时间的变化
速度为 T(t)
（2）若某地区t时刻的人口数为N(t)，则该地区人口变化速度为 N(t) Ⅲ 疑难题型
（ⅰ）分段函数在分段点处的导数计算
5. 讨论下列函数在x?0处的连续性与可导性
（1）（7分）y?|sinx|
word整理版
'' 范文 范例 学习 指导
解：在x?0处连续但不可导
1?xsin,x?0?x（2）（7分）y?? ?0,x?0?解：limy?f(0)?0
x?0?xsin?x?0lim1?01?x不存在， ?limsin?x?0?x?x 所以f(x)在x?0处连续但不可导
?x2,x?0???6．（8分）已知：f(x)??，求f?(0),f?(0),f?(0),f?(x).
??x,x?0?解：f??(0)=lim?x?0f(0?x)?f(0)?x?0?lim???1 x?0xxf(0?x)?f(0)x2?0?lim??0，?f'(0)不存在 f??(0)?lim?x?0x?0xx ?f（x）??'?2x,x?0
??1,x?0（ⅱ）用导数定义解决的有关抽象函数的题型（自学）
f(2x)?f(?3x)．
x?0xf(2x)?f(0)?f(?3x)?f(0)f(2x)?f(?3x)解：lim=lim
x?0x?0xxf(2x)?f(0)?f(?3x)?f(0) =lim+lim
x?0x?0xx7．（7分）设f(0)?0,f?(0)?1，求lim =2f(0)?3f(0)?5
8．（7分）对任取的x,y，总有f(x?y)?f(x)?f(y)，且f(x)在x?0处可导， 求证：f(x)在(??,??)上处处可导。
解：?f(x?y)?f(x)?f(y)，取x?y?0 ?f(0)?0 ?f(x)?lim'?x?0f(x??x)?f(x)f(x)?f(?x)?f(x)?lim ?x?0?x?x?lim?x?0f(?x)?f(0)?f'(0) 即f(x)在(??,??)上处处可导。
?x word整理版
范文 范例 学习 指导
（二） 初等函数求导（见A §2.2, §2.3）；（B §2.2） Ⅰ 内容要求
（ⅰ）记忆基本导数表，掌握四则求导法则及复合求导法则，了解反函数求导法则。 （ⅱ）了解高阶导数的概念，掌握初等函数一阶及二阶导数的求法，自学求函数n阶导数
的一般表达式。 Ⅱ 基本题型
（ⅰ）初等函数一阶及二阶导数的计算题型 9. 求下列函数的一阶导数（每题4分）
x2（1）y?2?x， y?2?xln2?2'x2x?1?x
s?sinx) （2）y?3ecosx y?3e(coxx'xxlnx?lnxx2x2?lnx（3）y? y'?， ?xx2xxarcsinx'（4）y? y?arccosx ?arccox.s1arcsxin?arccoxs1?x21?x2 ?22(arccxo)2s1?x(arccxo)s?arcsxin?21?x(arccosx)222
（5）y?2x y'?2xln2?2x?2x（6）y?e?x222?1x?ln2
1?cos6x y??e2(cos6x?12sin6x)
2'x（7）y?arctanx?1' y?x?1(x?1)?(x?1)11??? 22x?12(x?1)x?11?()x?11x?x?a22（8）y?ln(x?x2?a2)，y'?(1?xx?a22)?1x?a22
10. 求下列函数在给定点处的函数值（每题6分） （1）???sin??d?1cos?，求
d?2???4
解：
d?11?sin???cos??sin???cos??sin? d?22 word整理版
范文 范例 学习 指导
d?d????4?2?22??(2??) 848（2）y?x?x，求y?(1). 1?12x?2x?14xx?x，y(1)?'解：y?'2x?x（3）y?32 811??，求y?().
1?|sinx|1?|sinx|3解：?x?(0,'?22)，?y?11??2sec2x
1?sinx1?sinxx，y'()?4sec2 y?4secxtan??33tan?3?163
（4）y?ln(secx?tanx)，求y?().
?6解：y?''1(secxtanx?sec2x)?secx
secx?tanx y()?sec???6623 311. 求下列函数的二阶导数（每题7分） （1）y?1?lnx y'??x?2?x?1，y\?2x?3?x?2 x'2\2（2）y?tanx y?secx，y?2secxtanx
e2x(4x2?4x?2)2xe2x?e2xe2x'\（3）y? y?，y?
xx2x32(a2?x2)2x\（4）y?ln(x?a) y?2，y? 222x?a2(x?a)22'（5）y?ln1?x1?11?1'?? y??? 21?x2?1?x1?x?x?1?y\??2x 22(x?1)（6）y?ln(x?
x2?a2)，y'?1x?a22，y\??x(x2?a2)32
word整理版
范文 范例 学习 指导
Ⅲ 提高题型
（ⅰ）有关抽象函数的求导问题
12．（7分）设函数f(x)和g(x)可导，且f(x)?g(x)?0，试求：
22ddx?f2(x)?g2(x).
?d解：
dx?f(x)?g(x).?22?f?f'?g?g'f?g22
13．（7分）设f(x)二阶可导，设y?f(sinx)?f(cosx)，求y?(x),y??(x). 解：y?(x)?sin2xf(sinx)?sin2xf(cosx)=sin2x[f(sinx)?f(cosx)]
'2'2'2'222y??(x)?2cos2xf'(sin2x)?f'(cos2x)?sin22xf\(sin2x)?f\(cos2x)
????dx1d2xy???导出：2??14．（7分）试从. 3?dyydy(y?)1')xy'?y\1?y\d2xddxd1?()?(')??'2.'?'3 解：2dydydydyydy(y)y(y)dx(（ⅱ）有关n阶导数的计算题型（自学）
15. 求下列函数n阶导数的一般表达式（每题7分） （1）y?1(n)n?n?1 y?(?1)n!(x?a) x?a11(n)n?(n?1)（2）y?2 y?(?1)n!(x?3)?(x?1)?(n?1)
4x?2x?31111y(x)?(?)，y'(x)?(?1)(x?3)?2?(?1)(x?1)?2
4x?3x?141?3?3 y??(x)?(?1)(?2)(x?3)?(?1)(?2)(x?1)
41'\?4?4 y(x)?(?1)(?2)(?3)(x?3)?(x?1)
4????????（3）y?ln(1?x) y（4）y?sinx?2(n)?(?1)n?1(n?1)!(1?x)?n
1n?(1?cos2x) y(n)??2n?1cos(2x?) 22(n)x（5）y?xe y?(x?n)ex
（二） 隐函数、参数方程所确定函数的求导问题及相关变化率问题
（A见§2.4）；（B见§2.3） Ⅰ 内容要求
word整理版
第二章 导数和微分答案解析
