上海民办协和双语学校数学圆 几何综合单元测试卷（含答案解析）
一、初三数学 圆易错题压轴题（难）
1．如图，∠ABC=45°，△ADE是等腰直角三角形，AE=AD，顶点A、D分别在∠ABC的两边BA、BC上滑动（不与点B重合），△ADE的外接圆交BC于点F，点D在点F的右侧，O为圆心．
（1）求证：△ABD≌△AFE
（2）若AB=42，82＜BE≤413，求⊙O的面积S的取值范围．
【答案】（1）证明见解析（2）16π＜S≤40π
【解析】试题分析：（1）利用同弧所对的圆周角相等得出两组相等的角，再利用已知AE=AD，得出三角形全等；（2）利用△ABD≌△AFE，和已知条件得出BF的长，利用勾股定理和82＜BE≤413，求出EF,DF的取值范围， 数的性质求出最值. 试题解析：（1）连接EF，
∵△ADE是等腰直角三角形，AE=AD， ∴∠EAD=90°，∠AED=∠ADE=45°， ∵AE?AE ， ∴∠ADE=∠AFE=45°， ∵∠ABD=45°， ∴∠ABD=∠AFE， ∵AF?AF， ∴∠AEF=∠ADB， ∵AE=AD， ∴△ABD≌△AFE； （2）∵△ABD≌△AFE， ∴BD=EF，∠EAF=∠BAD， ∴∠BAF=∠EAD=90°， ∵AB?42 ， ∴BF=
S??4DE2，所以利用二次函
AB42?=8，
cos?ABFcos45设BD=x，则EF=x，DF=x﹣8，
∵BE=EF+BF， 82＜BE≤413 ，
2
2
2
∴128＜EF+8≤208， ∴8＜EF≤12，即8＜x≤12， 则S?∵
22
?4DE2???2?22x??x?8??=?x?4??8?，
4??2?＞0， 2∴抛物线的开口向上， 又∵对称轴为直线x=4，
∴当8＜x≤12时，S随x的增大而增大， ∴16π＜S≤40π．
点睛：本题的第一问解题关键是找到同弧所对的圆周角，第二问的解题关键是根据第一问的结论计算得出有关线段的长度，由于出现线段的取值范围，所以在这个问题中要考虑勾股定理的问题，还要考虑圆的面积问题，得出二次函数，利用二次函数的性质求出最值.
2．已知圆O的半径长为2，点A、B、C为圆O上三点，弦BC=AO，点D为BC的中点，
(1)如图，连接AC、OD，设∠OAC=α，请用α表示∠AOD； (2)如图，当点B为AC的中点时，求点A、D之间的距离：
(3)如果AD的延长线与圆O交于点E，以O为圆心，AD为半径的圆与以BC为直径的圆相切，求弦AE的长．
【答案】（1）?AOD?150??2?；（2）AD?【解析】 【分析】
（1）连接OB、OC，可证△OBC是等边三角形，根据垂径定理可得∠DOC等于30°，OA=OC可得∠ACO=∠CAO=α，利用三角形的内角和定理即可表示出∠AOD的值.
7；（3）33?133?1 or22
（2）连接OB、OC，可证△OBC是等边三角形，根据垂径定理可得∠DOB等于30°，因为点D为BC的中点，则∠AOB=∠BOC=60°，所以∠AOD等于90°，根据OA=OB=2,在直角三角形中用三角函数及勾股定理即可求得OD、AD的长.
（3）分两种情况讨论：两圆外切，两圆内切.先根据两圆相切时圆心距与两圆半径的关系，求出AD的长，再过O点作AE的垂线，利用勾股定理列出方程即可求解. 【详解】
(1)如图1：连接OB、OC. ∵BC=AO ∴OB=OC=BC
∴△OBC是等边三角形 ∴∠BOC=60° ∵点D是BC的中点 ∴∠BOD=∵OA=OC
∴?OAC??OCA=α ∴∠AOD=180°-α-α-30?=150°-2α
1?BOC?30? 2
(2)如图2：连接OB、OC、OD.
由（1）可得：△OBC是等边三角形，∠BOD=∵OB=2，
∴OD=OB?cos30?=3 ∵B为AC的中点， ∴∠AOB=∠BOC=60° ∴∠AOD=90° 根据勾股定理得：AD=1?BOC?30? 2AO2?OD2?7
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