第十九届北京市大学生数学竞赛本科甲、乙组试题解答
一、填空题（每小题3分，共30分） 1. 2．设则曲线3. 设4．设函数
可导且
－2 .
6. 7. 数项级数8. 计算积分
9. 已知入射光线的路径为线方程为 10. 设曲线
.
的长度为L, 则
在
上二阶可导，且
.
而当
时,
的和
.
－1+cos1+ln2.
= 1/2 .
, 则此光线经过平面
反射后的反射
连续，在在
= 1/6 . 处可导，且满足 , 则
，二元函数
和直线
－2 .
满足,
，则
.
处的切线方程为 y=2x－2 .
5. 设是由曲线所围成的区域, 是连续函数, 则
(10分) 设二、(10分) 证明在调减．再由下面证明即
内，方程
时，知，
证明 由于当
有且仅有一个实根．
因此
单调减，从而时，
，
，
，于是又有
严格单
最多只有一个实根．
必有一实根．当
上式右端当由介值定理存在综上所述，知三、(10分) 设
时，趋于在
，因此当充分大时，
．
，于是存在，使得，
，使得
有而且只有一个实根． 有二阶连续偏导数,
, 且
, 证明
在取得极值, 判断此极值是极大值还是极小值, 并求出此极值.
其中
设
解 由题设
则 故 A= 整数n，必存在证明 令于是有 所以 故存在
, 且，使
, 故
．
是极大值.
四、（10分）设f (x)在 [0,1] 上连续, f (0)= f (1) , 求证: 对于任意正
使
即 五、
．
六、(10分) 设函数积分
(x≠0)具有连续导数,在围绕原点的任意光滑简单闭曲面上,
的值恒为同一常数. (1)证明: 对空间区域
内的任意光滑简单闭曲面,有
;
(2) 求函数(1)证明:
满足
的表达式.
如图,将
分解为
,另做曲面围绕原点且与
相接, 则
=0.
(2) 由(1)可知, 其通解为故
,
, 由
, 得
,
y
七、(10分) 如图, 一平面均匀薄片是由抛物线及轴所围成的, 现要求当此薄片以倾斜时, 只要角不超过问参数最大不能超过多少? 解
为支点向右方 , 则该薄片便不会向右翻倒,
倾斜前薄片的质心在心在点
, 点与点的距离为, 薄片不翻倒的临界位置的质处, 有
, 此时薄片底边中心在点
, 解得
, 故最大不能超过.
八、(10分) 讨论是否存在 [0,2] 上满足下列条件的函数, 并阐述理由: f (x) 在 [0,2] 上有连续导数, f (0) = f (2)=1, 解 不存在这样的函数.
当时,
,且
.
由题设知
下面证明上面的不等式不能同时取等. 否则,
于是
,
此时函数不满足连续可导的条件.
故不存在满足所给条件的函数.
第十九届北京市数学竞赛甲乙解答08-10-19
