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第18讲 任意角、弧度制及任意角的三角函数
［解密考纲］本考点主要考查三角函数的概念、任意角和弧度制.通常以选择题、填空题的形式呈现.安排在比较靠前的位置.
一、选择题
1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( C ) π
A．
3π
C．－
3
πB．
6πD．－
6
解析 将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角.故A项，B项不正确，又因为拨快10分钟，故1
应转过的角为圆周的，
6
1π
即为－×2π＝－，故选C．
63
2π
2．点P从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点Q，则点Q的坐标为( A )
33??1
A．?－，? ?22?3??1
C．?－，－?
2??2
B．?－D．?－
?
???
31?，－? 22?31?，? 22?
2π12π3
解析 由三角函数定义可知Q点的坐标(x，y)满足x＝cos＝－，y＝sin＝.
3232
3．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a的取值范围是( A ) A．(－2,3］ C．［－2,3)
B．(－2,3) D．［－2,3］
??3a－9≤0，
解析 由cos α≤0，sin α>0可知，角α的终边在第二象限或y轴的正半轴上，所以有?
?a＋2>0，?
解得－2 1 4．(2018·福建三明模拟)设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cos α＝x，则sin α 5＝( A ) 4 A． 53 C． 5 3B．－ 54D．－ 5 1x 解析 因为r＝x2＋42，cos α＝x＝，得x＝3或x＝－3，又因为α是第二象限角，则x5x2＋42 最新精选中小学试题、试卷、教案、教育资料 4 ＝－3，r＝5，所以sin α＝，故选A． 5 5．(2018·安徽合肥模拟)已知角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线 y＝2x上，则cos 2θ＝( B ) 4 A．－ 53 C． 5 3B．－ 54D． 5 1222 解析 由题意知，tan θ＝2，即sin θ＝2cos θ，将其代入sinθ＋cosθ＝1中可得cosθ＝， 532 故cos 2θ＝2cosθ－1＝－，故选B． 5 2π??2π 6．已知正角α的终边上一点的坐标为?sin，cos ?，则角α的最小值为( D ) 33??5π A． 65π C． 3 2πB． 311πD． 6 2π??3131??2π 解析 ∵?sin，cos?＝?，－?，∴角α为第四象限角，且sin α＝－，cos α＝，∴33??222?2?11π 角α的最小值为，故选D． 6 二、填空题 5π 7．在与2 010°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为 －. 6675π 解析 ∵2 010°＝π＝12π－， 66 5π ∴与2 010°终边相同的角中绝对值最小的角的弧度数为－. 6 1 8．设角θ为第四象限角，并且角θ的终边与单位圆交于点P(x0，y0).若x0＋y0＝－，则cos 2θ 3＝ －17. 91 解析 由三角函数的定义，得x0＝cos θ，y0＝sin θ.∵ cos θ＋sin θ＝－，两边平方得sin 2θ 3817＝－，∴cos 2θ＝±1－sin22θ＝±.∵θ为第四象限角，sin θ<0，cos θ>0，sin θ＋cos θ<0， 99∴|sin θ|>|cos θ|，∴cos 2θ＝cosθ－sinθ<0，∴cos 2θ＝－ 2 2 17 . 9 最新精选中小学试题、试卷、教案、教育资料 αα?α?9．设角α是第三象限角，且?sin?＝－sin，则角是第 四 象限角. 2?22? 3ππα3πα 解析 由α是第三象限角，知2kπ＋π<α<2kπ＋(k∈Z)，kπ＋< 22242ααα?α?第二或第四象限角，再由?sin?＝－sin，知sin ≤0，所以只能是第四象限角. 2?222? 三、解答题 10．已知角α终边上一点P，点P到x轴的距离与到y轴的距离之比为3∶4，且sin α<0，求cos α＋2tan α的值. |y|3 解析 设P(x，y)，则根据题意，得＝. |x|4∵sin α<0，∴α的终边只可能在第三、四象限. ①若点P位于第三象限，可设P(－4k，－3k)(k>0)， x4y3 则r＝x2＋y2＝5k，从而cos α＝＝－，tan α＝＝， r5x47 ∴cos α＋2tan α＝. 10 ②若点P位于第四象限，可设P(4k，－3k)(k>0)， 则r＝x2＋y2＝5k， x4y3 从而cos α＝＝，tanα＝＝－， r5x47 ∴cos α＋2tan α＝－. 10 7 综上所述，若点P位于第三象限，则cos α＋2tan α＝； 107 若点P位于第四象限，则cos α＋2tan α＝－. 1011．已知扇形AOB的周长为8. (1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小； (2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦AB的长. 解析 设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为α， 2r＋l＝8，?? (1)由题意可得?1 lr＝3，??2l2l ∴α＝＝或α＝＝6. r3r 11l2 (2)∵2r＋l＝8，∴S扇＝lr＝r(8－2r)＝r(4－r)＝－(r－2)＋4≤4，当且仅当r＝2，即α＝＝2 22r时，扇形面积取得最大值4. ??r＝3， 解得? ?l＝2，? ??r＝1， 或? ?l＝6，? 最新精选中小学试题、试卷、教案、教育资料 ∴弦长AB＝2sin 1×2＝4sin 1． 12．已知sin α<0，tan α>0. (1)求α角的集合； α (2)确定的终边所在的象限； 2ααα (3)试判断tansincos 的符号. 222 解析 (1)由sin α<0，知α的终边在第三、四象限或y轴的负半轴上；由tan α>0，知α的终边在第一、三象限， 故α的终边在第三象限，其集合为 ? ?α? ＋ ?3π π<α<2kπ＋，k∈Z?. 2? (2)由(2k＋1)π<α<2kπ＋ 3π ，k∈Z， 2 πα3πα 得kπ＋< 2242αααα (3)当在第二象限时，tan<0，sin >0，cos <0， 2222ααα 所以tansin cos 取正号； 222当 αααα 在第四象限时，tan<0，sin <0，cos >0， 2222 ααα 所以tansin cos 也取正号． 222ααα 因此tansin cos 取正号． 222
2019版高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形课时达标18任意角蝗制及任意角的三角函数
