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正确答案：(??5?2,4)
反思：不等式基本性质是不等式的基础，有些性质是条件不等式，在使用这些性质解题时，务必要检验成立条件，不能想当然套用，忽视了就会出错。 易错点25 忽视等号同时成立的条件，扩大了范围
【问题】：已知函数f(x)?ax?bx，且1?f(?1)?2,2?f(1)?4，求f(?2)的取值范围。 错解：先由1?f(?1)?2,2?f(1)?4求出a，b的范围，再用不等式性质求出f(?2)的范围为[5，10]。
剖析：知识残缺，多次使用同向相加性质，从而扩大了取值范围。 正确答案：利用待定系数法或线性规划求解，f(?2)的范围为[5，10]。
反思：在多次运用不等式性质时，其等号成立的条件可能有所不同，造成累积误差，结果使变量范围扩大。为了避免这类错误，必须注意①检查每次使用性质时等号成立的条件是否相同；②尽可能多的使用等式。
易错点26 去分母时没有判断分母的符号
2x2?x?6＞0 【问题】：解不等式
x?1x2?x?6＞0，∴x2?x?6?0，解得?xx＜?2,或x＞3? 错解：∵
x?1剖析：基础不实，没有考虑分母x?1的符号，直接去分母，应对x?1进行分类讨论，或用数轴
标根法求解。
正确答案：(?2,1)U(3,??)
反思：解分式不等式的依据是分式的基本性质a>b,c>0?a c >b c；a >b,c<0?a c
错解一：原不等式等价于?(a?2)?2x?1?a?2，解得?a3a1??x?? 2222剖析：基础不实，直接利用绝对值不等式的解集公式，而忽视对a-2进行分类讨论。
错解二：当a?2?0时，原不等式不成立。
当a?2?0时，原不等式等价于?(a?2)?2x?1?a?2，解得?a3a1??x?? 2222剖析：技能不熟，没有对a?2?0进行讨论。
正确答案：当a?2?0时，不等式解集是?；当a?2?0时，不等式解集是
a?1??3?ax?x???
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反思：含参数不等式的解法是不等式问题的难点。解此类不等式时一定要注意对字母分类讨论，讨论时要做到不重不漏，分类解决后，要对各个部分的结论按照参数由小到大进行整合。 易错点28 忽视均值不等式应用条件 【问题】1：若x<0，求函数f(x) =x?2的最值。 x错解:当x＝2时，f(x)取得最小值22 剖析：基础不实，基本不等式a?b≥2用公式。
正确答案：最大值为?22，无最小值。 【问题】：设0?x??，求函数f(x)?sinx?错解：f(x)?sinx?ab成立条件为a?0,b?0，本题中x<0，不能直接使
4的最小值。 sinx44?2sinxg?4 sinxsinx剖析：知识残缺，因为上述解法取等号条件是sinx?正确答案：最小值为5
4，sinx??2，而这是不可能的。 sinx23?的最小值。 ab【问题】3：设a?0,b?0，且a?b?1，求函数f(x) =错解：∵
23236?=(a?b) (?)≥2abg2＝46，∴函数f(x)的最小值为46。 ababab剖析：技能不熟，上述解法似乎很巧妙，但两次使用均值不等式时取等号的条件不一样，因此取不到46。
正确答案：最小值为5?26 反思：均值不等式a?b≥2
ab（a?0,b?0）取等号的条件是“一正，二定，三相等”。
在解题过程中，务必要先检验取等号的三个条件是否成立。常规的解法是①如果积或和不是定值，设法构造“定值”；② 若是a?0,b?0不能保证，可构造“正数”或利用导数求解；③若是等号不能成立，可根据“对勾函数”图象，利用单调性求解。
易错点28 平面区域不明 【问题】：?x?2y?1??x?y?3??0表示的平面区域是（ ）
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错解一：选A 计算错误 错解二：选B 思维不缜密
错解三：选D 审题粗心，未注意到不含等号。 正确答案：C
反思：一条直线l:Ax?By?C?0(A,B不全为零）把平面分成两个半平面，在每个半平面内的点（x，y）使Ax?By?C值的符号一致。鉴于此，作不等式对应的平面区域方法是画线定界，取点定域，若含等号画实线，否则画虚线。
易错点29 求目标函数最值时忽视y的系数B的符号
?y?1,?【问题】：若变量x,y满足约束条件?x?y?0,求目标函数z?x?2y的最大值。
?x?y?2?0,?错解：先作可行域，在平移直线l:x?2y?t得最优解（-1，1）,所以zmax??3
剖析：识记错误，当y的系数小于0时，使得直线l在y轴上截距最大的可行解，是目标函数取得最小值的最优解。 正确答案：3
反思：解线性规划问题的基本方法是图解法。当B>0时，动直线l:Ax?By?t在y轴上的截距越大，目标函数z?Ax?By值越大，截距越小，目标函数值越小；反之，当B<0时，动直线
l:Ax?By?t在y轴上截距越大，目标函数z?Ax?By值越小，截距越小，目标函数值越大。
其中y的系数B的符号是解题的关键，也是同学们经常忽略的地方。
七、立体几何
易错点30 不会将三视图还原为几何体 【问题】：若某空间几何体的三视图如图所示， 求该几何体的体积。
错解： 如图该几何体是底面为边长2正方形，高为1
2的棱柱，∴该几何体的体积为V?(2)?1?2
剖析：识图能力欠缺，由三视图还原几何体时出错。 正确答案：V=1
反思：在由三视图还原空间几何体时，要根据三个视图综合考虑，根据三视图的规则，可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为实线。在还原几何体形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑。
易错点31 空间点、线、面位置关系不清 【问题】：给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
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②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中为真命题的是
A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④ 错解：A
剖析：①空间想象能力欠缺，不会借助身边的几何体作出判断；
②空间线面关系模糊，定理不熟悉或定理用错。
正确答案：D
反思：空间点、线、面位置关系的组合判断是考查学生对空间点、线、面位置关系判断和性质掌握程度的重要题型。解决这类问题的基本思路有两条：一是逐个寻找反例作出否定的判断，逐个进行逻辑证明作出肯定的判断；二是结合长方体模型或实际空间位置（如教室、课桌、灯管）作出判断，但要注意定理应用准确，考虑问题全面细致。 易错点32 平行关系定理使用不当 【问题】：正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，P在对角线BD1上，且BP?2BD1，给出下列四个命题：（1）MN//面APC；（2）C1Q // 面APC；（3）
3A，P，M三点共线；（4）面MNP // 面APC.正确序号为（ ）
A、（1）（2） B、（1）（4） C、（2）（3） D、（3）（4） 错解：A、B、D
剖析：空间线面关系模糊，定理不熟悉，未能推出MN在平面APC内而导致错误。 正确答案：C
反思：证明空间平行关系的基本思想是转化和化归，但要正确应用定理并注意定理的应用条件。如在证明直线a//平面α时，不能忽略直线a在平面α外。证明有关线线，线面，面面平行时使用定理应注意找足条件，书写规范，推理严谨。 易错点33 垂直关系定理使用不当 【问题】：已知三棱锥P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=?AB，N为AB上一点，AB= 4AN，M、S分别为PB、BC的中点。 ①证明：CM⊥SN；
②求SN与平面CMN所成角的大小.
剖析：①在利用线面垂直的判定定理证明两个平面互相垂直时， 只证明了该直线垂直于这个平面内的两条直线，没有说明这两 条直线是否相交，不符合定理的条件；②在求线面角时，没有 说明找角的过程。
反思：证明空间垂直关系的基本思想是转化和化归。如在证明线线垂直时，可先把其中一条直线视为某平面内的直线，然后再利用线面垂直的性质定理和判定定理证明另一条直线垂直于这个平面，进而达到证明线线垂直的目的。
易错点34 利用空间向量求线面角几种常见错误 【问题】：如图，已知两个正方形ABCD 和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的精品文档
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中点 ,若平面ABCD ⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的余弦值。
uuur剖析：本题在求得平面DCEF的一个法向量DA=（0，0，2）及
MN=(－1,1,2)后，可得cos
MN?DA||MN||DA|??63·
可能出现的错误为：?66; 33正确答案：3 3r反思：若直线与平面所成的角为?，直线的方向向量为a，平面的法向量为n，则
rsin?=|cos
②误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦就是线面角的正弦，而忘了加绝对值；③不清楚线面角的范围。
易错点35 二面角概念模糊
【问题】： 如图，四棱锥S?ABCD中，底面ABCD为矩形，SD?底面ABCD，AD?2，
DC?SD?2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60。
①证明：M是侧棱SC的中点；
②求二面角S?AM?B的余弦值。
ob=(2，剖析：本题在求得平面SAM、1，1)，MAB的法向量a=(2，
0，
rr662)后，然后计算出cos?a,b?=；接着可能错误地以为二面角S?AM?B余弦值为，33rr其实本题中的二面角是钝角，?a,b?仅为其补角。
正确答案：?6 3反思：若两个平面的法向量分别为a，b，若两个平面所成的锐二面角为?，则
rrrrcos??cos?a,b?；若两个平面所成二面角为钝角，则cos???cos?a,b?。总之，在解
此类题时，应先求出两个平面的法向量及其夹角，然后视二面角的大小而定。
利用空间向量证明线面位置关系基本步骤为①建立空间坐标系，写出相关点的坐标；②用向量表示相应的直线；③进行向量运算；④将运算结果转化为相应的位置关系。解此类问题常见错误有①不会将空间问题转化为向量问题；②不会建系，不会用向量表示直线，③计算错误，④使精品文档
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