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高中数学易错点梳理
必考知识点：
第一章、集合与函数概念（常用逻辑用语） 第二章、基本初等函数 第三章、函数的应用 第四章、三角函数 第五章、平面向量 第六章、三角恒等变换 第七章、解三角形 第八章、数列 第九章、不等式 第十章、空间几何体
第十一章、点、直线、平面之间的位置关系 第十二章、直线与方程 第十三章、圆与方程
第十四章、圆锥曲线与方程 第十五章、算法初步与框图
第十六章、概率、统计与统计案例 第十七章、推理与证明
第十八章、数系的扩充与复数的引入
第十九章、选修系列（坐标系与参数方程、不等式选讲） 第二十章、导数及其应用
第二十一章、计数原理与二项式
数学中的隐含条件往往最容易被忽视，这些隐含条件通常被称为题中的“陷阱”，解题过程中一不小心就会掉进去。本文列举出了高中课本中一些常见的易错点，希望同学们在今后的学习中引以为戒。
一、集合与简易逻辑
易错点1 对集合表示方法理解存在偏差
【问题】1: 已知A?{x|x?0},B?{yy?1}，求AIB。 错解：AIB??
剖析：概念模糊，未能真正理解集合的本质。 正确结果：AIB?B
【问题】2: 已知A?{y|y?x?2},B?{(x,y)|x?y?4}，求AIB。 错解： AIB?{(0,2),(?2,0)} 正确答案：AIB??
剖析：审题不慎，忽视代表元素，误认为A为点集。 反思：对集合表示法部分学生只从形式上“掌握”，对其本质的理解存在误区，常见的错误是不理解集合的表示法，忽视集合的代表元素。 精品文档
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易错点2 在解含参数集合问题时忽视空集
【问题】: 已知A?{x|2a?x?a},B?{x|?2?x?1}，且A?B，求a 的取值范围。 错解：[-1，0）
剖析：忽视A??的情况。 正确答案：[-1，2]
反思：由于空集是一个特殊的集合，它是任何集合的子集，因此对于集合A?B就有可能忽视了A??，导致解题结果错误。尤其是在解含参数的集合问题时，更应注意到当参数在某个范围内取值时，所给的集合可能是空集的情况。考生由于思维定式的原因，往往会在解题中遗忘了这个集合，导致答案错误或答案不全面。
易错点3 在解含参数问题时忽视元素的互异性
【问题】: 已知1∈{a?2,(a?1), a?3a?3 }，求实数a的值。 错解：a??2,?1,0
剖析：忽视元素的互异性，其实当a??2时，(a?1)=a?3a?3=1；当a??1时，
22222a?2=a2?3a?3=1；均不符合题意。
正确答案：a?0
反思：集合中的元素具有确定性、互异性、无序性，集合元素的三性中的互异性对解题的影响最大，特别是含参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。解题时可先求出字母参数的值，再代入验证。
易错点4 充分必要条件颠倒出错
【问题】:已知a,b是实数，则“a?0且b?0”是“a?b?0且ab?0”的 A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 错解：选B
剖析：识记不好，不能真正理解充要条件概念，未能掌握判断充要条件的方法。 正确答案：C 反思：对于两个条件A,B，如果A?B，则A是B的充分条件，B是A的必要条件，如果
A?B，则A是B的充要条件。判断充要条件常用的方法有①定义法；②集合法；③等价法。
解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性，所以在解决这类问题时，一定要分清条件和结论，根据充要条件的定义，选择恰当的方法作出准确的判断，不充分不必要常借助反例说明。
二、函数与导数
易错点5 判断函数奇偶性时忽视定义域
(x?1)(x2?1)【问题】1: 判断函数y?的奇偶性。
x(x?1)x2?1错解：原函数即y?，∴为奇函数
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剖析：只关注解析式化简，忽略定义域。 正确答案：非奇非偶函数。 【问题】2: 判断函数f(x)?x2?1?1?x2的奇偶性。
错解：Qf(?x)?f(x)，∴为偶函数
剖析：不求函数定义域只看表面解析式，只能得到偶函数这一结论，导致错误。 正确答案：既奇且偶函数。
反思：函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。如果不具备这个条件，一定是非奇非偶函数。在定义域关于原点对称的前提下，如果对定义域内任意x都有f(?x)??f(x)，则
f(x)为奇函数；如果对定义域内任意x都有f(?x)?f(x)，则f(x)为偶函数，如果对定义域
内存在x0使f(?x0)??f(x0)，则f(x)不是奇函数；如果对定义域内存在x0使
f(?x0)?f(x0)，则f(x)不是偶函数。
易错点6 解“二次型函数”问题时忽视对二次项系数的讨论
【问题】: 函数f(x)?(m?1)x?2(m?1)x?1的图象与x轴只有一个交点，求实数m的取值范围。
错解：由??0解得m?0或m??3
剖析：知识残缺，分类讨论意识没有，未考虑m?1?0的情况。 正确答案：??3,0,1?
反思：在二次型函数y?ax?bx?c中，当a?0时为二次函数，其图象为抛物线；当a?0,b?0时为一次函数，其图象为直线。在处理此类问题时，应密切注意x项的系数是否为0，若不能确定，应分类讨论，另外有关三个“二次”之间的关系的结论也是我们应关注的对象。例如：
222ax2?bx?c?0解集为R?a?0,??0或a=b=0,c>0 ax2?bx?c?0解集为??a?0,??0或a=b=0,c?0
易错点7 用函数图象解题时作图不准
【问题】: 求函数f(x)?x的图象与直线f(x)?2的交点个数。
错解：两个
剖析：忽视指数函数与幂函数增减速度快慢对作图的影响。 正确答案：三个 反思：“数形结合”是重要思想方法之一，以其准确、快速、灵活及操作性强等诸多优点颇受数学学习者的青睐。但我们在解题时应充分利用函数性质，画准图形，不能主观臆造，导致图形“失真”，从而得出错误的答案。 精品文档
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易错点8 忽视转化的等价性
【问题】1: 已知方程mx?3x?1?0有且只有一个根在区间（0，1）内，求实数m的取值范围。
2错解：∵方程mx?3x?1?0有且只有一个根在区间（0，1）内，∴函数y?mx?3x?1的图
22象与x轴在（0，1）内有且只有一个交点，∴f(0)f(1)?0，解得m?2 剖析：知识残缺，在将方程转化为函数时，应考虑到f(1)?0的情况。 正确答案：m????,2? 【问题】2:函数y?e|lnx|?|x?1|的图象大致是（ ）
剖析：①在转化过程中，去绝对值时出错，从而得到错误的图象。
②在图象变换过程中出错，搞错平移方向。 正确答案：D
反思：等价转化是数学的重要思想方法之一，处理得当会起到意想不到的效果，但等价转化的前提是转化的等价性，反之会出现各种离奇的错误。 易错点9 分段函数问题
??2?a?x?1x?1【问题】1:.已知f(x)??是R上的增函数，求a的取值范围。 ?xx?1??a错解：(1,2)
剖析：知识残缺，只考虑到各段函数在相应定义域内为增函数，忽视f(x)在分界点附近函数值大小关系。 正确答案：?,2)
?x2?bx?c,x?0,x?0,【问题】2:设函数f(x)??若f(?4)?f(0),f(?2)??2，求关于x的方程
x?0.?2,?3?2f(x)?x解的个数。
错解：两个
剖析：基础不实，分类讨论意识没有，未能将方程精品文档
f(x)?x分两种情况来解。
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正确答案：三个
反思：与分段函数相关的问题有作图、求值、求值域、解方程、解不等式、研究单调性及讨论奇偶性等等。在解决此类问题时，要注意分段函数是一个函数而不是几个函数，如果自变量取值不能确定，要对自变量取值进行分类讨论，同时还要关注分界点附近函数值变化情况。 易错点10 误解“导数为0”与“有极值”的逻辑关系
【问题】:函数f(x)?x?ax?bx?a在x=1处有极值10，求a,b的值。 错解：由f(1)?10,f?(1)?0解得a?4,b??11或a??3,b?3
剖析：对“导数为0”与“有极值”逻辑关系分辨不清，错把f(x0)为极值的必要条件当作充要条件。
正确答案：a=4,b=-11
反思：在使用导数求函数极值时，很容易出现的错误是求出使导函数等于0的点，而没有对这些点左右两侧导函数的符号进行判断，误以为使导函数等于0的点就是函数的极值点。出现这种错误的原因就是对导数与极值关系不清。可导函数在一点处的导函数值为0只是这个函数在此点取到极值的必要条件，充要条件是f?(x0)?0且f?(x)在x0两侧异号。。 易错点11 对“导数值符号”与“函数单调性”关系理解不透彻
【问题】:若函数f(x)?ax?x在R上为减函数，求实数a的取值范围。 错解：由f?(x)=3ax?1?0在R上恒成立，∴?错误!未找到引用源。
剖析：概念模糊，错把f(x)在某个区间上是单调增（减）函数的充分条件当成充要条件。事实上a?0时满足题意。 正确答案：a?0 反思：一个函数在某个区间上单调增（减）的充要条件是这个函数的导函数在此区间上恒大（小）于等于0，且导函数在此区间的任意子区间上都不恒为0。切记导函数在某区间上恒大（小）于0仅为该函数在此区间上单调增（减）的充分条件。
易错点12 对“导函数值正负”与“原函数图象升降”关系不清楚
【问题】: 已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则y = f(x)的图象最有可能的是______.
错解：选A,B,D
23322?a?0???12a?0 ，解得a?0
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