7.2.1 三角函数的定义
(教师独具内容)
课程标准:1.借助平面直角坐标系理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.2.掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号.3.理解终边相同的角的同一三角函数值相等.
教学重点:三角函数的定义;三角函数在各象限内的符号. 教学难点:任意角的三角函数的定义的建构过程.
【知识导学】
知识点一 三角函数的定义
在平面直角坐标系中,设α的终边上任意一点P的坐标是(x,y),它与原点O的距离是
r(r=x2+y2>0).
三角函数 sinα cosα tanα
知识点二 三角函数值的符号
定义 01 □名称 02正弦 □yrxryx03 □04余弦 □05 □06正切 □
规律:一全正、二正弦、三正切、四余弦.
【新知拓展】
(1)三角函数值是比值,是一个实数,这个实数的大小与点P(x,y)在终边上的位置无关,只与角α的终边位置有关,即三角函数值的大小只与角有关.
(2)终边相同的角的同名三角函数值相等.
1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若α=β+720°,则cosα=cosβ.( ) (2)若sinα=sinβ,则α=β.( )
(3)已知α是三角形的内角,则必有sinα>0.( )
答案 (1)√ (2)× (3)√ 2.做一做
(1)若sinα<0,且tanα<0,则α在( ) A.第一象限 C.第三象限
B.第二象限 D.第四象限
(2)若角α的终边经过点P(5,-12),则sinα=________,cosα=________,tanα=________.
(3)tan405°-sin450°+cos750°=________. (4)sin2cos3tan4的值的符号为________. 125123
答案 (1)D (2)- - (3) (4)负
131352
题型一 三角函数的定义
例1 已知角α的终边经过点P(-4a,3a)(a≠0),求sinα,cosα,tanα的值. [解] r=
-4a2
+3a2
=5|a|,
若a>0,则r=5a,角α在第二象限, sinα==tanα==
y3a3x-4a4=,cosα===-, r5a5r5a5y3a3
=-;
x-4a4
若a<0,则r=-5a,角α在第四象限, 343
sinα=-,cosα=,tanα=-.
554
[条件探究] 在本例中,若将题设条件改为:已知角α的终边在直线y=3x上,问题不变,怎样求解?
解 因为角α的终边在直线y=3x上,
所以可设P(a,3a)(a≠0)为角α终边上任意一点. 则r= a+
2
3a2
=2|a|(a≠0).
3a3
=, 2a2
若a>0,则α为第一象限角,r=2a,sinα=
a13acosα==,tanα==3.
2a2a3a3a1
若a<0,则α为第三象限角,r=-2a,sinα==-,cosα==-,tanα-2a2-2a2
=
3aa=3.
金版点睛
利用三角函数的定义求值的策略
(1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时,常用的解题方法为:在α的终边上任选一点P(x,y),P到原点的距离为r(r>0).则sinα=,cosα=.已知α的终边求
yrxrα的三角函数值时,用这几个公式更方便.
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时,要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.
(3)若终边在直线上时,因为角的终边是射线,应分两种情况处理.
[跟踪训练1] (1)设a<0,角α的终边经过点P(-3a,4a),那么sinα+2cosα的值等于( )
2A. 51C. 5
2B.-
51D.-
5
2
m,求m的值. 2
(2)已知角α终边上的点P(4,3m),且sinα=答案 (1)A (2)见解析
解析 (1)∵角α的终边经过点P(-3a,4a), 则r=
-3a2
+4a2
=5|a|.
∵a<0,∴r=-5a,
y4a4x-3a3
∴sinα===-,cosα===,
x-5a5r-5a5
432
∴sinα+2cosα=-+2×=.
555(2)∵P(4,3m),∴r=16+9m, ∴sinα==
2
yr3m2
16+9m=2
2
m, 2
9m12
两边平方,得2=m.
16+9m2∴m(9m-2)=0,∴m=0或m=±
2
2
2. 3
题型二 三角函数值的符号
例2 (1)若sinαtanα<0,且cosαtanα<0,则角α是( )
A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角
D.第四象限角
(2)判断下列各式的符号:
①tan120°sin269°;②cos4tan??23π?-
4???
.
[解析] (1)由sinαtanα<0可知sinα,tanα异号, 从而α为第二、三象限角. 由
cosαtanα<0可知cosα,tanα异号,从而α为第三、四象限角. 综上可知,α为第三象限角.
(2)①∵120°是第二象限角,∴tan120°<0. ∵269°是第三象限角,∴sin269°<0, ∴tan120°sin269°>0.
②∵π<4<3π
2,∴4弧度是第三象限角,∴cos4<0.
∵-23ππ4=-6π+4
,
∴-23π4是第一象限角,∴tan??23π?-4???
>0. ∴cos4tan??23π?
-4???<0.
[答案] (1)C (2)见解析 金版点睛
判断给定角的三角函数值正负的步骤
(1)确定α的终边所在的象限;
(2)利用三角函数值的符号规律,即“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来判断.[跟踪训练2] (1)若三角形的两内角A,B满足sinA·cosB<0,则此三角形必为( A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形
D.以上三种情况都有可能
(2)点P(tanα,cosα)在第三象限,则α是第________象限角. (3)判断下列各式的符号:
) ①sin105°cos230°; 7π7π②sintan;
88③cos6tan6.
答案 (1)B (2)二 (3)见解析
解析 (1)三角形内角的取值范围是(0,π),故sinA>0.因为sinAcosB<0,所以cosB<0,所以B是钝角,故三角形是钝角三角形.
(2)因为点P(tanα,cosα)在第三象限,所以tanα<0,cosα<0,则角α的终边在第二象限.
(3)①∵105°、230°分别为第二、第三象限角, ∴sin105°>0,cos230°<0,∴sin105°cos230°<0. π7π7π
②∵<<π,∴是第二象限角.
2887π7π7π7π∴sin>0,tan<0.∴sintan<0.
88883π
③∵<6<2π,∴6弧度的角为第四象限角,
2∴cos6>0,tan6<0,∴cos6tan6<0.
1.如果角α的终边过点P(2sin30°,-2cos30°),则sinα的值等于( ) 1A. 2C.-
3 2
1B.-
2D.-
3 3
答案 C
解析 由题意得P(1,-3),它与原点的距离r=1+-3-3. 2
2.当α为第二象限角时,A.1 C.2 答案 C
|sinα|cosαsinαcosα解析 ∵α为第二象限角,∴sinα>0,cosα<0,∴-=-
sinα|cosα|sinα-cosα=2.
|sinα|cosα-的值是( ) sinα|cosα|
B.0 D.-2
2
2
=2,所以sinα=