解:原式=x2(2x2?x?6?1111?2)=x2?2(x2?2)?(x?)?6? xxxx11设x??t,则x2?2?t2?2
xx222t?2)?t?6?=x2?2t2?t?10? ∴原式=x(21????2 =x?2t?5??t?2?=x2?2x??5??x??2?
xx????21????22x· =x·?2x??5?·?x??2?=?2x?5x?2??x?2x?1?
xx????? =(x?1)(2x?1)(x?2)
2(2)x4?4x3?x2?4x?1
??411??1???2)=x2??x2?2??4?x???1? xxx??x????11 设x??y,则x2?2?y2?2
xx222 ∴原式=x(y?4y?3)=x(y?1)(y?3)
1122 =x2(x??1)(x??3)=?x?x?1??x?3x?1?
xx练习14、(1)6x4?7x3?36x2?7x?6
4322(2)x?2x?x?1?2(x?x)
解:原式=x(x?4x?1?22六、添项、拆项、配方法。
例15、分解因式(1)x3?3x2?4
解法1——拆项。 解法2——添项。
原式=x3?1?3x2?3 原式=x3?3x2?4x?4x?4
22=(x?1)(x?x?1)?3(x?1)(x?1) =x(x?3x?4)?(4x?4) =(x?1)(x?x?1?3x?3) =x(x?1)(x?4)?4(x?1)
2=(x?1)(x?4x?4) =(x?1)(x?4x?4)
22=(x?1)(x?2) =(x?1)(x?2)
963(2)x?x?x?3
22解:原式=(x?1)?(x?1)?(x?1)
963=(x?1)(x?x?1)?(x?1)(x?1)?(x?1)
363333=(x?1)(x?x?1?x?1?1)
3633=(x?1)(x?x?1)(x?2x?3)
263练习15、分解因式
(1)x3?9x?8 (2)(x?1)?(x?1)?(x?1)
4224(3)x4?7x2?1 (4)x4?x2?2ax?1?a2
x?y?(x?y) (5)(6)2a2b2?2a2c2?2b2c2?a4?b4?c4
七、待定系数法。
例16、分解因式x?xy?6y?x?13y?6
22444分析:原式的前3项x?xy?6y可以分为(x?3y)(x?2y),则原多项式必定可分为(x?3y?m)(x?2y?n)
解:设x?xy?6y?x?13y?6=(x?3y?m)(x?2y?n)
2222∵(x?3y?m)(x?2y?n)=x?xy?6y?(m?n)x?(3n?2m)y?mn
22∴
x2?xy?6y2?x?13y?6=x2?xy?6y2?(m?n)x?(3n?2m)y?mn
?m?n?1?m??2?对比左右两边相同项的系数可得?3n?2m?13,解得?
n?3??mn??6?∴原式=(x?3y?2)(x?2y?3)
22例17、(1)当m为何值时,多项式x?y?mx?5y?6能分解因式,并分
解此多项式。
(2)如果x3?ax2?bx?8有两个因式为x?1和x?2,求a?b的值。 (1)分析:前两项可以分解为(x?y)(x?y),故此多项式分解的形式必
为(x?y?a)(x?y?b)
解:设x?y?mx?5y?6=(x?y?a)(x?y?b)
2222 则x?y?mx?5y?6=x?y?(a?b)x?(b?a)y?ab
22?a?b?m?a??2?a?2???比较对应的系数可得:?b?a?5,解得:?b?3或?b??3
?ab??6?m?1?m??1???∴当m??1时,原多项式可以分解;
当m?1时,原式=(x?y?2)(x?y?3);
当m??1时,原式=(x?y?2)(x?y?3)
32(2)分析:x?ax?bx?8是一个三次式,所以它应该分成三个一次式相乘,
因此第三个因式必为形如x?c的一次二项式。
32解:设x?ax?bx?8=(x?1)(x?2)(x?c)
则x3?ax2?bx?8=x?(3?c)x?(2?3c)x?2c
32?a?3?c?a?7??∴?b?2?3c 解得?b?14, ?2c?8?c?4??∴a?b=21
22练习17、(1)分解因式x?3xy?10y?x?9y?2
(2)分解因式x?3xy?2y?5x?7y?6
22(3) 已知:x?2xy?3y?6x?14y?p能分解成两个一次因式
22之积,求常数p并且分解因式。
(4) k为何值时,x?2xy?ky?3x?5y?2能分解成两个一次
22因式的乘积,并分解此多项式。
第二部分:习题大全 经典一: 一、填空题
1. 把一个多项式化成几个整式的_______的形式,叫做把这个多项式分解因式。
2分解因式: m3-4m= . 3.分解因式: x2-4y2= __ _____. 4、分解因式:=___________ ______。
5.将xn-yn分解因式的结果为(x2+y2)(x+y)(x-y),则n的值为 .
6、若,则=_________,=__________。 二、选择题
7、多项式的公因式是( )
A、 B、 C、 D、
8、下列各式从左到右的变形中,是因式分解的是( ) A、 B、 C、 D、
10.下列多项式能分解因式的是( )
(A)x2-y (B)x2+1 (C)x2+y+y2 (D)x2-4x+4 11.把(x-y)2-(y-x)分解因式为( ) A.(x-y)(x-y-1) B.(y-x)(x-y-1) C.(y-x)(y-x-1) D.(y-x)(y-x+1) 12.下列各个分解因式中正确的是( ) A.10ab2c+6ac2+2ac=2ac(5b2+3c) B.(a-b)2-(b-a)2=(a-b)2(a-b+1)
C.x(b+c-a)-y(a-b-c)-a+b-c=(b+c-a)(x+y-1) D.(a-2b)(3a+b)-5(2b-a)2=(a-2b)(11b-2a) 13.若k-12xy+9x2是一个完全平方式,那么k应为( ) .4 C
三、把下列各式分解因式: 14、 15、
16、 17、 18、 19、; 五、解答题
20、如图,在一块边长=6.67cm的正方形纸片中,挖去一个边长=3.33cm的正方形。求纸片剩余部分的面积。
21、如图,某环保工程需要一种空心混凝土管道,它的规格是内径,外径长。利用分解因式计算浇制一节这样的管道需要多少立方米的混凝土(取,结果保留2位有效数字)
经典二:
因式分解小结
知识总结归纳
因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式,它和整式乘法互为逆运算,在初中代数中占有重要的地位和作用,在其它学科中也有广泛应用,学习本章知识时,应注意以下几点。 1. 因式分解的对象是多项式;
2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式;
3. 分解因式,必须进行到每一个因式都不能再分解为止;
D d 22、观察下列等式的规律,并根据这种规律写出第(5)个等式。