1．根据题意，粒子的初速度只有y方向和z方向的分量，设它们为v0y和v0z.因为粒子在z方向不受电场力和磁场力作用，故粒子在z方向以初速度v0z作匀速运动.
粒子在Oxy面内的运动可以看作由以下两部分运动的合成：可把粒子在y方向的初速度表示为
v0y??v0y1?v0y?v0y1 (1) 其中
v0y1??(2)
沿y负方向．与v0y1相关的磁场力
E0B0
fBx??qv0y1B0 (3)
沿x负方向.粒子受到的电场力
fE?fEx?qE0 (4)
沿x正方向．由(2)、(3)、(4)式可知，粒子在x方向受到的电场力和磁场力正好抵消，故粒子以大小为
E0的速度沿y负方向运动．除此之外，由（1）式可知，粒子还具有初速度 B0E0 B0 v0y2?v0y?(5)
沿y正方向，与v0y2相关的磁场力使粒子以速率v0y2在Oxy面内作匀速圆周运动，以r表示圆周运动的半径，有
qv0y2B0?m(6) 可得
2v0y2r
r?mv0y2qB0
(7)
由周期的定义和(7)式可得圆周运动的周期
T=2?mqB0
(8)
(8)式表明，粒子运动的周期与粒子在y方向的初速度无关．经过时间T或T的整数倍所考察的粒子就能同时回到Oyz平面.
?2．增加的电场E2对粒子在Oxy平面内的运动无影响，但粒子在z方向要受到此电场力
作用．以az表示在此电场力作用下的加速度，有
maz?qE0cos?t (9) 或
az=(10)
这是简谐运动的加速度，因而有
2 az=??z
qE0cos?t m（11） 由(10)、（11）可得
z??(12)
因未增加电场时，粒子在z方向作初速度为v0z的匀速运动，增加电场后，粒子在z方向的运动是匀速运动与简谐运动的叠加，即有 z?v0zt?（13）
1qE0cos?t 2?m1qE0cos?t 2?m
v粒子在Oxy平面内的运动不受电场E2的影响．设?0为粒子在Oxy
平面内作圆周运动的角速度，则有
O y ?0?2πqB0 (14) ?Tm?0tr rv0y2
由图示可得与圆周运动相联系的粒子坐标随时间t的变化关系
x??r?1?cos?0t? (15) y??rsin?0t (16) x 考虑到粒子在y方向还具有速度为v0y1的匀速运动，并利用(2)、(5)、(7)、(14)以及己知条件，可得带电粒子的运动规律：
x?(17)
E0??qB0?m?v?t??0y??1?cosqB0?B0??m?E0E0?qB0m?t?v?t?0y?sinB0qB0?B0?mmE0qB0costqB02m
y??(18)
z?v0zt?(19)
评分标准：
本题20分．
第1问12分．（2）、（3）、（4）式共5分，（5）、（6）、（7）式共4分，（8）式及相关说明共3分．
第2问8分．（12）式2分，（14）式到（19）式各1分. 五、
答案与评分标准 本题15分．
V?V??I?T1．IL?I0?e?1? (2分），IL （2分），VTln?1?L? （2分），
???I0???V?V?TVIL?VI0?e?1? （1分）．
????2．0.62V （2分）；0.54V （2分）；49mW （2分）；6.0? （2分）．
六、
参考解答：
在电加热器对A室中气体加热的过程中，由于隔板N是导热的，B室中气体的温度要升高，活塞M将向右移动.当加热停止时，活塞M有可能刚移到气缸最右端，亦可能尚未移到气缸最右端. 当然亦可能活塞已移到气缸最右端但加热过程尚未停止.
1. 设加热恰好能使活塞M移到气缸的最右端，则B室气体末态的体积
VB?2V0（1）
根据题意，活塞M向右移动过程中，B中气体压强不变，用TB表示B室中气体末态的温度，有
V0VB?T0TB
（2）
由(1)、(2)式得
TB?2T0
（3）
由于隔板N是导热的，故A室中气体末态的温度
TA?2T0 （4）
下面计算此过程中的热量Qm.
在加热过程中，A室中气体经历的是等容过程，根据热力学第一定律，气体吸收的热量等于其内能的增加量，即
QA?（5）
由(4)、(5)两式得
QA?（6）
B室中气体经历的是等压过程，在过程中B室气体对外做功为
5R(TA?T0) 25RT0 2WB?p0(VB?V0)（7）
由(1)、(7)式及理想气体状态方程得
WB?RT0 （8）
内能改变为
?UB?（9）
由(4)、(9)两式得
5R(TB?T0)2
?UB?5RT0 2（10）
根据热力学第一定律和(8)、(10)两式，B室气体吸收的热量为
QB??UB?WB?(11)
由(6)、(11) 两式可知电加热器提供的热量为
7RT0 2Qm?QA?QB?6RT0（12）
若Q0?Qm，B室中气体末态体积为2V0，A室中气体的末态温度2T0.
2．若Q0?Qm，则当加热器供应的热量达到Qm时，活塞刚好到达气缸最右端，但这时加热尚未停止，只是在以后的加热过程中气体的体积保持不变，故热量Q0?Qm是A、B中气体在等容升温过程中吸收的热量.由于等容过程中气体不做功，根据热力学第一定律，
?，有 若A室中气体末态的温度为TAQ0?Qm?（13）
由(12)、(13)两式可求得
55??2T0)?R(TA??2T0)R(TA22
?? TA（14）
B中气体的末态的体积
Q04?T0 5R5?=2V0 VB（15）
?? 3. 若Q0?Qm，则隔板尚未移到气缸最右端，加热停止，故B室中气体末态的体积VB???2V0．设A、B两室中气体末态的温度为TA??，根据热力学第一定律，注意小于2V0，即VB到A室中气体经历的是等容过程，其吸收的热量
QA?（16）
B室中气体经历的是等压过程，吸收热量
QB?（17）
利用理想气体状态方程，上式变为 QB?（18） 由上可知
5???T0) R(TA25???T0)?p0(VB???V0) R(TA27???T0? R?TA2???T0) Q0?QA?QB?6R(TA
18全国中学生物理竞赛复赛试题及答案
