（1）、（2）、（3）式共3分，（4）式1分，（5）、（6）、（7）式共3分，(9) 、(10) 式各1分,(12)到（17）式各1分．
第2问5分
（18）式1分，（19）式3分，（20）式1分． 三、
参考解答： 解法一
1． 设在时刻t，小球和圆筒的运动状态如图1所示，小球位于P点，绳与圆筒的切点为T，P到T的距离即绳的拉直部分的长度为l，圆筒的角速度为?，小球的速度为v.小球的速度可以分解成沿着绳子方向的速度v1和垂直于绳子方向的速度v2两个分量.根据机械能守恒定律和角动量守恒定律有 (1)
O T vv1P v2 图1 111122222 M?R?0??m?R?0??M?R???m?v1?v2?2222MR2?0?mR2?0?MR2??mRv1?mlv2
(2)
因为绳子不可伸长，v1与切点T的速度相等，即
v1?R? (3)
解(1)、(2)、(3)式得
?M?m?R2?ml2 ???0 22?M?m?R?ml(4)
2?M?m?R2l v2??
?M?m?R2?ml20(5)
由(4)式可得
l?R(6)
M?m?0??
m?0??这便是在卫星角速度减至?时绳的拉直部分的长度l．
2．由（6）式，当??0得
M?m （7） T ? ml??l ??2 这便是绳的总长度L. ??1T L?R 3．如图2所示，从时刻t到t??t，切点T跟随圆筒转过一角度??1???t，由于绳子的拉直部分的长度增加了
O l v2?t??l，切点相对圆筒又转过一角度??2?所以在?t时间内，切点转过的角度
?l，到达T?处，R?l R图2 ?????1???2???t?（8）
切点从T变到T?也使切线方向改变了一个同样的角度??，而切线方向的改变是小球具有垂直于绳子方向的速度v2引起的，故有 ???（9）
由(1)、(2)、(3)式可得
v2?l??0??? （10）
由(8)、（9）、（10）三式得
?l?R?0?t （11）
（11）式表示l随t均匀增加，故l由0增加到L所需的时间为 ts?（12）
解法二
1．撤去插销后两个小球的运动情况相同，故
m2v2?t lL1??0R?0M?m mQ R T l r m2P0?
O P0 Q? 图1
? 可取一个小球作为对象进行研究，先研究任何时刻小球的速度.
在t时刻，相对卫星系统质心参考系小球运动状态如图1所示，绳子的拉直部分与圆筒面的切点为T，小球到切点T的距离即绳的拉直部分的长度为l，小球到转轴O的距离为r，圆筒的角速度为?.由于圆筒的转动和小球相对圆筒的运动，绳将展开，切点位置和绳的拉直部分的长度都要改变.
首先考察小球相对于圆筒的运动.在t时刻，OT与固定在圆筒上的半径OP0的夹角为?，如图2所示.由于小球相对圆筒的运动，经过时间?t，切点从圆筒上的T点移到T?点，OT?与OP0的夹角变为????，绳的拉
T?l? ?? T l PP0 P?
? O uuur直部分的长度由l变为l?，小球由P运动到P?，PP?便
是小球相对圆筒的位移.当?t很小时l?l?，故
uuurPP??l????l??图2
于是小球相对圆筒的速度大小为
v??l(1)
方向垂直于TP．??是切点相对圆筒转动的角速度．
再考察圆筒相对质心参考系的转动，即与圆筒固连在一起的转动参考系相对质心参考系的运动.当圆筒的角速度为?时，位于转动参考系中的P点(小球所在处)相对质心系的速度
T ???l?? ?trvr v? rv?1 l P rv? vv?2
rrv??v?2R r v??r? (2) O P 0
? 方向垂直于OP．可以把v?分解成沿着TP方向的分量v?1和垂直TP方向的分量v?2，如图3所示，即
v?1?R?
(3)
v?2?l? (4)
r小球相对质心系的速度v是小球相对圆筒的速度和圆筒参考系中的P点相对质心系速度的
图3 合成，由图3可得v的大小
v?(5) 因
l?R? (6)
故有
2v?1??v?2?v??
2rv?R?2????????2（7）
因为系统不受外力作用，故系统的动能和角动量守恒，故有 （8）
2
1111222M?R?0??mR2?0?M?R???mv2 2222MR2?0?mR2?0?MR2??mRv?1?ml?v?2?v??（9）
由(7)、(8)两式有
22m ???????????
M?m202
（10）
由(1)、(3)、(4)、(6)、(9)各式得
?0???（11）
由(10)、(11)两式得
m?2??????M?m
?0???????
故有
????0
（12）
上式说明绳子与圆筒的切点相对圆筒转动的角速度等于卫星的初始角速度，是一个恒量，将(12）式代入（11）式得
??（13）
由(6)、(13)两式得
M?m??0?????m??0???
l?RM?m??0?????m??0???
（14）
这便是在卫星角速度减至?时绳的拉直部分的长度l．
2．由（14）式，当??0得绳总长度, 即
L?R（15）
M?mm
3．因??是一个恒量，?随时间的t的变化规律为
???0t（16）
当??0时，由（13）式可得卫星停旋时的?
?s?（17）
M?mm
设卫星停转所用的时间为ts，由（16）、（17）式得
ts?（18） 评分标准：
本题25分． 解法一
?s1??0?0M?mm
第1问12分．（1）、（2）式各3分，（3）式2分，（6）式4分． 第2问3分．（7）式3分．
第3问10分．（8）、（9）式各3分，（10）式2分，（11）、（12）式各1分． 解法二
第1问18分．（1）式3分，（2）式2分，（7）式2分，（8）式3分，（9）式3分，（12）式2分，（14）式3分，
第2问3分．（15）式3分．
第3问4分．（16）式2分，（17）式1分，（18）式1分． 四、
参考解答：
18全国中学生物理竞赛复赛试题及答案
