同济大学_第八章_向量代数与解析几何
第五篇 向量代数与空间解析几何
第八章 向量代数与空间解析几何
解析几何的基本思想就是用代数的方法来研究几何的问题,为了把代数运算引入几何
中来,最根本的做法就就是设法把空间的几何结构有系统的代数化,数量化、 平面解析几何使一元函数微积分有了直观的几何意义,所以为了更好的学习多元函数微积分,空间解析几何的知识就有着非常重要的地位、
本章首先给出空间直角坐标系,然后介绍向量的基础知识,以向量为工具讨论空间的平面与直线,最后介绍空间曲面与空间曲线的部分内容、
第1节 空间直角坐标系
1、1 空间直角坐标系
用代数的方法来研究几何的问题,我们需要建立空间的点与有序数组之间的联系,为此我们通过引进空间直角坐标系来实现、
1、1、1 空间直角坐标系
过定点O,作三条互相垂直的数轴,这三条数轴分别叫做x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴),它们都以O为原点且具有相同的长度单位、 通常把x轴与y轴配置在水平面上,而z轴则就是铅垂线;它们的正方向要符合右手规则:右手握住z轴,当右手的四指从x轴的正向转过
?角度指向y轴正向时,大拇指的指向就就是z轴的正向,这样就建立了一个空间直2角坐标系(图8-1),称为Oxyz直角坐标系,点O叫做坐标原点、
z O y
x
图8-1
在Oxyz直角坐标系下,数轴Ox,Oy,Oz统称为坐标轴,三条坐标轴中每两条可以确定一个平面,称为坐标面,分别为xOy,yOz,zOx,三个坐标平面将空间分为八个部分,每一部分叫做一个卦限(图8-2),分别用Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ表示、
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图8-2
1、1、2 空间点的直角坐标
y轴与设M为空间中的任一点,过点M分别作垂直于三个坐标轴的三个平面,与x轴、
z轴依次交于A、B、C三点,若这三点在x轴、y轴、z轴上的坐标分别为x,y,z,于
就是点M就唯一确定了一个有序数组(x, y, z),则称该数组(x, y, z)为点M在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,如图8-3.x,y,z分别称为点M的横坐标、纵坐标与竖坐标.
z C z x
M(x,y,z) O y g B y
A x
图8-3
反之,若任意给定一个有序数组(x, y, z),在x轴、y轴、z轴上分别取坐标为x,y,z的三个点A、B、C,过这三个点分别作垂直于三个坐标轴的平面,这三个平面只有一个交点M,该点就就是以有序数组(x, y, z)为坐标的点,因此空间中的点M就与有序数组
(x, y, z)之间建立了一一对应的关系.
注:A、B、C这三点正好就是过M点作三个坐标轴的垂线的垂足. 1、2 空间中两点之间的距离
设两点M(x1, y1, z1),N(x2, y2, z2),则M与N之间的距离为
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d?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2 (8-1-1)
事实上,过点M与N作垂直于xOy平面的直线,分别交xOy平面于点M1与N1,则
MM1 ∥NN1,显然,点M1的坐标为(x1, y1, 0),点N1的坐标为(x2, y2, 0)(如图8-4).
R2 N M R1 O N2 Q1 M1 N1 P1 Q2 y P2 x 图8-4
由平面解析几何的两点间距离公式知,M1与N1的距离为:
|M1N1|?(x2?x1)2?(y2?y1)2.
过点M作平行于xOy平面的平面,交直线NN1于N2,则M1N1∥MN2,因此N2的坐标为(x2, y2, z1),且
|MN2|?|M1N1|?(x2?x1)2?(y2?y1)2,
在直角三角形MN2N中,
|N2N|?|z2?z1|,
所以点M与N间的距离为
d?|MN2|2?|N2N|2?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2.
例1 设A(?1, 2, 0)与B(?1, 0, ?2)为空间两点,求A与B两点间的距离. 解 由公式(8-1-1)可得,A与B两点间的距离为
d?[?1?(?1)]2?(0?2)2?(?2?0)2?22. 例2 在z轴上求与点A(3, 5, ?2)与B(?4, 1, 5)等距的点M. 解 由于所求的点M在z轴上,因而M点的坐标可设为(0, 0, z),又由于
MA?MB,
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