二元一次不等式（组）与平面区域
一、教学目标:
1．初步体会从实际情景中抽象出二元一次不等式组的过程。 2．了解二元一次不等式（组）的相关概念，并能画出二元一次不等式（组）表示的平面区域。
3．培养学生观察、分析数学图形的能力，在问题的解决中渗透集合、化归、类比、数形结合的数学思想。 二、教学重点与难点:
1．重点：探究、运用二元一次不等式（组）来表示平面区域。 2．难点：如何确定不等式Ax+By+C>0(或<0)表示直线Ax+By+C=0的哪一侧区域。 三、教学准备:
教具：直尺、多媒体设备。 四、教学过程:
(一)、创设情境 激发兴趣
问题1：我们班计划用少于100元的钱购买单价分别为2元和1元的大、小彩球装点联欢晚会的会场，根据需要，大球数不少于10个，小球数不少于20个，请你给出几种不同的购买方案？
答：大球10个、小球20个；大球20个、小球30个；大球30个、小球30个；大球35个、小球29个等等；
提问：这个问题中存在一些不等关系，我们应该用什么不等式模型来刻画它们呢？
学生列式: 设购买大球x个，小球y个
?2x?y?100?0?+
x?10（x,y∈N） ??y?20?学生通过思考，相继得到许多不同的解：
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?x?10?x?20?x?30?x?35，，，……上述各个解都满足?????y?20?y?30?y?30?y?292x?y?100?0。
提问1：大家认识这个不等式2x+y<100吗？该怎样称呼它？（如学生不知道，可以问学生x-10>0如何称呼？）
我们把含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式称为二元一次不等式。
提问2：我们该怎样称呼 ??2x?y?100
?x-y?8我们把几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组。
把x=10,y=20代入代数式2x+y-100,满足2x?y?100?0， x=20,y=30代入代数式2x+y-100满足2x?y?100?0，象这样满足二元一次不等式（组）的x和y的取值构成有序数对（x，y）（举例说明）,所有这样的有序数对（x，y）构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集，有序实数对可以看作是直角坐标系平面内点的坐标，于是二元一次不等式（组）的解集就可以看成直角坐标系内点构成的集合。 （二）探究二元一次不等式表示的平面区域
思考：我们知道，一元一次不等式的解集可以表示为数轴上的区间，例如，x-10>0的解集为数轴上的一个区间（画图），那么，在直角坐标系内，二元一次不等式的解集表示什么图形呢？
探究：二元一次不等式2x+y<100在平面直角坐标系下表示什么区域？
问题2:集合{(x,y)|2x+y=100}表示什么图形? （表示一条直线） 提问1：怎样画这条直线？
提问2：已知点A(20,60)和直线L：2x+y-100=0，请判断点A和直
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线L的位置关系？
（点A的坐标代入代数式2x+y-100，得2x+y-100=0） 提问3：已知点B(10,20),C(40,50)和直线L：2x+y-100=0，请判断点B、C和直线L的位置关系？（从数形两方面说明） 提问4：直线L上的点被点A分成几类？哪几类？
提问5：平面直角坐标系内的点被直线2x?y?100?0分成几类？哪三类？
【教师演示】几何画板展示：在平面直角坐标系中，所有的点被直线2x＋y－100=0分成三类：即在直线2x＋y－100=0上；直线左下方的平面区域；直线右上方的平面区域。 活动一：由形到数
问题3：直线2x＋y－100=0的左下方的点的坐标（x,y）代入代数式 2x+y-100中，发现什么规律？
【学生尝试】让学生尝试在直线2x＋y－100=0的左下方多取若干点，自动计算2x＋y－100的值，发现都是小于零。
【教师演示】教师借助几何画板在直线2x+y－100＝0的左下方任意取一点A(x,y)的坐标进行跟踪显示，并将点A(x,y)的坐标代入2x+y－100中，由学生计算，观察所得值的符号，并归纳发现在直线2x+y－100＝0的左下方的点都满足不等式2x+y－100＜0。 （这个发现可以证明，此处省略100字） 活动二：由数到形
问题4：那么满足不等式2x+y-100<0的解（x，y）对应的点在直线2x＋y－100=0的同一侧，还是直线的两侧呢？
【学生尝试】设点P（x,y1）是直线l上的点，选取点A（x,y2）使它的坐标满足2x+y<100，填写下表：
横坐标x 点P的纵坐标y1 点A的纵坐标y2
－20 －10 3
0 10 20 30
在坐标系中将满足不等式的解所对应的点A描绘到坐标系中，通过对其位置进行分析，归纳猜想得出相应结论。 大家发现什么规律没？
【学生猜想】以二元一次不等式2x+y－100<0的解为坐标的点都在直线2x+y－100的左下方。
用同样的方法可以知道:以二元一次不等式2x+y－100>0的解为坐标的点都在直线2x+y－100的右上方。
【师生归纳】在平面直角坐标系中，以二元一次不等式2x+y－100<0的解为坐标的点都在直线2x+y－100的左下方，反过来，直线2x+y－100＝0的左下方的点的坐标都满足不等式2x+y－100＜0。因此，在平面直角坐标系中，不等式2x+y－100<0 表示直线2x+y－100的左下方的平面区域；类似的，不等式2x+y－100>0表示直线2x+y－100=0的右上方的平面区域。我们把直线2x+y－100=0叫做这两个区域的边界。 结论：一般地，在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax?By?C?0表示直线Ax?By?C?0某一侧所有点组成的平面区域。(同侧同号)
(三)应用练习
例1、画出不等式2x+3y-6>0表示的平面区域 设计以下几个问题:
(1)不等式表示的区域是在哪条直线的一侧？如何判断是在直线的左下方？
(2)这条直线是画实线还是虚线？为什么？ 变式1：画出不等式2x+3y-6≥0表示的平面区域 （几个提问择机而问）
提问1：直线Ax?By?C?0同一侧所有的点（x，y）代入Ax?By?C所得实数符号如何？
提问2：如何判断Ax?By?C?0表示直线Ax?By?C?0哪一侧平面区域？
引导学生探索分析对于直线Ax?By?C?0同一侧的所有点(x , y) ，把坐标(x , y)代入Ax?By?C，所得到实数的符号都相同，所
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以只需要在直线的某一侧取一个特殊点(x0 , y0)，从Ax0?By0?C的正负即可判断不等式Ax?By?C?0表示直线哪一侧的平面区域。（代点法）
概括为：画二元一次不等式表示的平面区域的方法为“直线定界，原点定域”。
提问3： Ax?By?C?0表示的平面区域与Ax?By?C?0表示的平面区域有何不同？如何体现这种区别？
总结：我们把直线画成虚线以表示区域不包含边界直线。画不等式
Ax?By?C?0所表示的平面区域时，此区域包括边界直线，应把边界
直线画成实线。
变式训练2：画出不等式3y?2x表示的平面区域 （引导学生思考取何特殊点？）
提问：画出不等式表示的平面区域的步骤是什么？
概括为：画二元一次不等式表示的平面区域的步骤为“直线定界，特殊点定域”。特别地，当C?0时，常把原点作为特殊点，即“直线定界、原点定域”
变式训练3：画出不等式组??2x?3y?6?0表示的平面区域
?3y?2x归纳：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。
练习：画出下列不等式表示的平面区域
(1)x-y+1<0 (2)2x+5y-10≥0 （3）(x+y-1)(x-y+1)<0 例2、画出不等式组表示的平面区域
?2x?y?100?0?x?10 ??y?20?设计以下几个问题:
（1）不等式组表示的平面区域如何确定？(各个不等式表示
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必修五3.3.1二元一次不等式组与平面区域教案
