大连市大连市第三十七中学数学全等三角形章末训练（Word版 含
解析）
一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）
1．如图，点A的坐标是（2，2），若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，则点P有_____个．
【答案】4 【解析】 【分析】
由A点坐标可得OA=22，∠AOP＝45°，分别讨论OA为腰和底边，求出点P在x轴正半轴和负半轴时，△APO是等腰三角形的P点坐标即可. 【详解】
（1）当点P在x轴正半轴上， ①如图，以OA为腰时， ∵A的坐标是（2，2）， ∴∠AOP＝45°，OA＝22， 当∠AOP为顶角时，OA=OP=22， 当∠OAP为顶角时，AO=AP， ∴OPA=∠AOP=45°， ∴∠OAP=90°， ∴OP=2OA=4，
∴P的坐标是（4，0）或（22，0）.
②以OA为底边时， ∵点A的坐标是（2，2）， ∴∠AOP=45°， ∵AP=OP，
∴∠OAP=∠AOP=45°，
∴∠OPA=90°， ∴OP=2，
∴P点坐标为（2，0）.
（2）当点P在x轴负半轴上， ③以OA为腰时， ∵A的坐标是（2，2）， ∴OA＝22， ∴OA＝OP＝22，
∴P的坐标是（﹣22，0）．
综上所述：P的坐标是（2，0）或（4，0）或（22，0）或（﹣22，0）． 故答案为：4． 【点睛】
此题主要考查等腰三角形的判定及坐标与图形性质的综合运用，注意分类讨论思想的运用是解题关键．
2．如图，在四边形ABCD中，BC?CD ，对角线BD平分?ADC，连接AC，
?ACB?2?DBC，若AB?4，BD?10，则SABC?_________________．
【答案】10 【解析】 【分析】
由等腰三角形的性质和角平分线的性质可推出AD∥BC，然后根据平行线的性质和已知条件
可推出CA=CD，可得CB=CA=CD，过点C作CE⊥BD于点E，CF⊥AB于点F，如图，根据等腰三角形的性质和已知条件可得DE的长和?BCF??CDE，然后即可根据AAS证明△BCF≌△CDE，可得CF=DE，再根据三角形的面积公式计算即得结果． 【详解】
解：∵BC?CD，∴∠CBD=∠CDB， ∵BD平分?ADC，∴∠ADB=∠CDB， ∴∠CBD=∠ADB，∴AD∥BC，∴∠CAD=∠ACB，
∵?ACB?2?DBC，?ADC?2?BDC，∠CBD=∠CDB， ∴?ACB??ADC，∴?CAD??ADC， ∴CA=CD，∴CB=CA=CD，
过点C作CE⊥BD于点E，CF⊥AB于点F，如图，则DE?1BD?5，2?BCF?1?ACB， 21?ADC，?ACB??ADC，∴?BCF??CDE， 2∵?BDC?在△BCF和△CDE中，∵?BCF??CDE，∠BFC=∠CED=90°，CB=CD， ∴△BCF≌△CDE（AAS），∴CF=DE=5，
11AB?CF??4?5?10． ABC22故答案为：10．
∴S?
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、角平分线的定义以及全等三角形的判定和性质等知识，涉及的知识点多、综合性强、具有一定的难度，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键．
3．已知A、B两点的坐标分别为 （0，3），（2，0），以线段AB为直角边，在第一象限内作等腰直角三角形ABC，使∠BAC＝90°，如果在第二象限内有一点P（a，△ABP和△ABC的面积相等，则a＝_____． 8【答案】-．
31），且2【解析】
【分析】
先根据AB两点的坐标求出OA、OB的值，再由勾股定理求出AB的长度，根据三角形的面积公式即可得出△ABC的面积；连接OP，过点P作PE⊥x轴，由△ABP的面积与△ABC的面积相等，可知S△ABP＝S△POA+S△AOB﹣S△BOP＝【详解】
∵A、B两点的坐标分别为 （0，3），（2，0）， ∴OA＝3，OB＝2， ∴AB＝32+22＝13，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°， ∴S13，故可得出a的值． 21113＝AB?AC＝?13?13＝， ABC222作PE⊥x轴于E，连接OP，
此时BE＝2﹣a，
∵△ABP的面积与△ABC的面积相等， ∴SABP＝SPOA?SAOB﹣SBOP111＝OA?OE?OB?OA﹣OB?PE， 222111113＝?3?（﹣a）??3?2﹣?2?＝22222
，
8解得a＝﹣．
3故答案为﹣． 【点睛】
本题考查等腰直角三角形的性质，坐标与图象性质，三角形的面积公式，解题的关键是根据S△ABP=S△POA+S△AOB-S△BOP列出关于a的方程．
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4．如图，已知等边?ABC的边长为8，E是中线AD上一点，以CE为一边在CE下方作等边?CEF，连接BF并延长至点N,M为BN上一点，且CM?CN?5，则MN的长为_________． 【答案】6 【解析】 【分析】
作CG⊥MN于G，证△ACE≌△BCF，求出∠CBF=∠CAE=30°，则可以得出CG?在Rt△CMG中，由勾股定理求出MG，即可得到MN的长． 【详解】
解：如图示：作CG⊥MN于G，
1BC?4，2
∵△ABC和△CEF是等边三角形， ∴AC=BC，CE=CF，∠ACB=∠ECF=60°， ∴∠ACB-∠BCE=∠ECF-∠BCE， 即∠ACE=∠BCF， 在△ACE与△BCF中
?AC?BC???ACE??BCF?CE?CF?
∴△ACE≌△BCF（SAS）， 又∵AD是三角形△ABC的中线 ∴∠CBF=∠CAE=30°， ∴CG?1BC?4， 2在Rt△CMG中，MG?CM2?CG2?52?42?3， ∴MN=2MG=6， 故答案为：6． 【点睛】
本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是推出△ACF≌△BCF．
5．如图，在ABC中，AB?AC，按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心，大于
BC一半长为半径作画弧，两弧相交于点M和点N，过点M、N作直线交AB于点D，连接CD，若AB?10，AC?6，则ADC的周长为_____________________．
大连市大连市第三十七中学数学全等三角形章末训练(Word版 含解析)
