人教B版高中数学选修(2-1)-3.2典型例题：空间向量证明垂直问题

空间向量证明垂直问题

1．证明线线垂直

证明两直线垂直可用a?b?a?b?a1b1?a2b2?a3b3?0.

例1：已知在空间四边形OABC中，OA?BC，OB?AC.求证：OC?AB. 证明：∵OA?BC，OB?AC， ∴OA?BC?0，OB?AC?0，

OA?(OC?OB)?0，OB?(OC?OA)?0，

C

A O

∴OA?OC?OA?OB，OB?OC?OB?OA，

B

∴OA?OC?OB?OC?0，∴(OA?OB)?OC?0， ∴BA?OC?0 即OC?AB.

例2：已知在空间四边形OABC中，OB?OC，

?AOB??AOC??.求证：OA?BC.

证明：OA?BC?OA?(OC?OB)?OA?OC?OA?OB

?|OA|?|OC|cos??|OA|?|OB|cos? ?|OA|?|OB|cos??|OA|?|OB|cos??0

O

C

A B

∴OA?BC.

例3：已知正方体ABCD?A'B'C'D'.求证：BD'?AC. 证明：不妨设正方体的边长为1，建立空间直角坐标系

D?xyz，则相关各点坐标为

B(1,1,0)，D'(0,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0). BD'?(?1,?1,1)，AC?(?1,1,0).

D C B y A' D' z C' B' ∵BD'?AC?0， ∴BD'?AC.

x A 实际上，正方体的体对角线与任意一条与之异面的面对角线所成角均为直角.

例4：已知正方体ABCD?A'B'C'D'，M、N分别为BD'和CC'中点.求证：

MN是BD'和CC'的公垂线段.

证明：不妨设正方体的边长为1，建立空间直角坐标系

D?xyz，则相关各点坐标为

z D' C' 1111C(0,1,0)，M(,,)，N(0,1,)，B(1,1,0)，D'(0,0,1)，

2222C'(0,1,1).

A' B' M D N 11MN?(?,,0)，BD'?(?1,?1,1)，CC'?(0,0,1).

22∵MN?BD'?0，MN?CC'?0，

∴MN?BD'，MN?CC' 即MN?BD'，MN?CC'. ∴MN是它们的公垂线段.

x A C B y 例5：在三棱柱ABC?A'B'C'中，底面是正三角形，AA'?底面ABC，

A'C?AB'.求证：BC'?AB'.

证明：设底面边长为2，高为h，建立空间直角坐标系O?xyz，则相关各点坐标为

A(3,0,0)，B(0,1,0)，C(0,?1,0)， A'(3,0,h)，B'(0,1,h)，C'(0,?1,h). AB'?(?3,1,h)，A'C?(?3,?1,?h)，

C' z B' A' AB'?A'C?3?1?h2?0，h2?2.

BC'?(0,?2,h)，AB'?(?3,1,h)，

C AB'?B'C?0?2?h2?0.

O A x D' z B y

∴AB'?B'C 即BC'?AB'. 2．证明线面垂直

例6：已知正方体ABCD?A'B'C'D'，E、F分别为

C' CC'和BD中点.求证：A'F?平面BDE.

证明：不妨设正方体的边长为2，建立空间直角坐标

A' B' E D F x A B C y 系D?xyz，则相关各点坐标为

B(2,2,0)，D(0,0,0)，E(0,2,1)，A'(2,0,2)，F(1,1,0). A'F?(?1,1,?2)，DB?(2,2,0)， DE?(0,2,1).

∵A'F?DB?0，A'F?DE?0，

又A'F?DB，A'F?DE，DBDE?D， ∴A'F?平面BDE.

★直线l的方向向量为a，平面?的法向量为n，且l??，若a//n即a??n则a??. 解法二：

不妨设正方体的边长为2，建立空间直角坐标系D?xyz，则相关各点坐标为

B(2,2,0)，D(0,0,0)，E(0,2,1)，A'(2,0,2)，F(1,1,0).

设平面BDE法向量为n?(x,y,z)，

DB?(2,2,0)，DE?(0,2,1)，

??n?DB??n?DB?2x?2y?0?， ???n?DE??n?DE?2y?z?0?令y?1取平面的一个法向量为n?(?1,1,?2). ∵A'F?(?1,1,?2)?1?n， ∴A'F?平面BDE. 3．证明面面垂直

平面?的法向量为n1，平面?的法向量为n2，若

z S n1?n2即n1?n2?0则???.

例7：如图，底面ABCD是正方形，SA?底面ABCD，

A E D y

B x C