2012年中国数学奥林匹克(CMO)试题(含答案word)

若A{3,4,若A{3,4,,8}中含有三个偶数，则4、6、8?A且满足性质①；

,8}中恰含有两个偶数，则它还应含有至少两个奇数，取这两个奇数，则4、

6、8中至少有两个偶数和这两个奇数可以形成一个满足性质①的三元数组，由于至少有两个偶数，故存在三个数满足性质①； 若A{3,4,,8}中恰含有一个偶数，则它含有全部三个奇数，此偶数和5、7即构成满足

性质①的三元数组。

因此，当n?4时，结论成立。

假设结论对n(n?4)成立，考虑n?1的情形。 设集合A是{1,2,若A{1,2,,2n?2}的一个n?3元子集，

,2n}?n?2，则由归纳假

设知结论成立。于是，只需考虑A{1,2,此时，若{1,2,,2n}?n?1且2n?1、2n?2?A的情形。

,2n}中有一个大于1的奇数x在集合A中，则x、2n?1、2n?2即构成

满足性质①的三元数组； 若{1,2,,2n}中所有大于1的奇数均不在集合A中，则

,2n,2n?1,2n?2}，而后者恰有n?3个元素，故 ,2n,2n?1,2n?2}，此时，4、6、8?A满足性质①。

A?{1,2,4,6,A?{1,2,4,6,综上，所求最小的k为1008.