5．若方程x2+(k2-9)x+k+2=0的两个实数根互为相反数，则k的值是______．
a?b6．如果2x2-3x-1与a(x-1)2+b(x-1)+c是同一个多项式的不同形式,那么=__.
c7．方程x2-y2=1991有______个整数解．
8．当m______时，方程(m-1)x2+2mx+m-3=0有两个实数根．
9．如图2，在直角△ABC中，AD平分∠A，且BD∶DC=2∶1，则∠B等于______度．
DECAFBAEABDGCCDBF (2) (3) (4)
10．如图3，在圆上有7个点，A，B，C，D，E，F，和G，连结每两个点的线段共可作出__条． 11．D，E分别是等边△ABC两边AB，AC上的点，且AD=CE，BE与CD交于F，则∠BFC等于__度． 12．如图4，△ABC中，AB=AC=9，∠BAC=120°，AD是△ABC的中线，AE是△ABD的角平分线，DF∥AB交AE延长线于F，则DF的长为______．
13．在△ABC中，AB=5，AC=9，则BC边上的中线AD的长的取值范围是______．
14．等腰三角形的一腰上的高为10cm，这条高与底边的夹角为45°，则这个三角形的面积是______．
15．已知方程x2+px+q=0有两个不相等的整数根，p，q是自然数，且是质数，这个方程的根是______．
答案与提示
一、选择题
提示：
1．∵OP=OB-PB=OB-(AB-AP)=6-(8-5)=3．∴选(B)． 2．∵以2，3代入方程，适合．故选(B)．
3．∵有两条边相等的三角形是等腰三角形．∴选(D)． 4．∵a=1，b=-1，c=1．∴选(C)．
6．∵x=y＞5的任何正整数，都可以和10作为三角形的三条边．∴选(D)． 7．两直线相交所成角可以是直角，故而(A)，(D)均不能成立．∴选(C)． 8．设两个角为α,β.则(α+β)+(α-β)=180°, 即α=90°．故选(D)．
9．∵不论x为何实数，x2+|x|+1总是大于零的．∴选(D)．
即7a=2b+2，可见a只能为偶数，b+1是7的
倍数．故取(A)．
11．设这11个连续奇数为：2n+1，2n+3，2n+5，…，2n+21．则 (2n+1)+(2n+3)+(2n+5)+…+(2n+21)=1991． 即 11(2n+11)=1991．
解得n=85．∴第六个数是2×85+11=181．故选(B)．
∴选(A)．
13．原方程可化为
(2x5-20x3+2x)+(x4-10x2+1)=0． 即 (2x+1)(x4-10x2+1)=0．
即 x4-10x2+1=0．故取(C)．
14．a＜-1时，a3+1＜0，a2+1＞0，a+1＜0．而若方程的两根为x1，x2，则有
15．设M，N两地距离为S，甲需时间t1，乙需时间t2，则有
∴t1＜t2，即甲先．
另外：设a=1，b=2，则甲走6小时，共走了9公里，这时乙走的时间为
从这个计算中，可以看到，a，b的值互换，不影响结果．故取(B)． 二、填空题
提示：
1．设所求角为α，则有
(180°-α)-(90°-α)=90°．
4．x3+2x2y+2xy3+y3=(x3+y3)+(2x2y+2xy2) =(x+y)(x2-xy+y2)+2xy(x+y) =(x+y)(x2+xy+y2)
5．设二根为x1，-x1，则x1+(-x1)=-(k2-9)． 即k2-9=0．即k=±3．
又，要有实数根，必须有△≥0． 即 (k2-9)2-4(k+2)＞0．
显然 k=3不适合上面的不等式，∴k=-3．
6．由2x2-3x-1=a(x+1)2+b(x-1)+c是恒等式，故由x=1代入，得c=-2；x2项的系数相等，
有a=2，这时再以x=0代入，得-1=a-b+c．即b=1．
7．x2-y2=1991，(x-y)(y+x)=11×181可以是
9．BD∶DC=2∶1，故有AB∶AC=2∶1，直角三角形斜边与直角边之比为2∶1，则有 ∠B=30°．
10．从A出发可连6条，从B出发可连5条，（因为BA就是AB），从C出发可连4条，…，从
F出发可连一条．共计1+2+3+4+5+6=21（条）．
另法：每个点出发均可连6条，共有42条．但每条都重复过一次，
11．如图28．
∠F=∠1+∠A+∠2． 又：△ADC≌△CEB． ∴ ∠1=∠3．
∴ ∠F=∠3+∠A+∠2=∠B+∠A=120°．
12．△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，故AD又是垂线，又是分角线，故∠BAD=60°，
∠ADB=90°．又：AE是分角线，故∠DAE= ∠EAB=30°．
又：DF∥AB，∴∠F=∠BAE=30°．
在△ADF中，∠DAF=∠F=30°．∴AD=DF． 而在△ADB中，AB=9，∠B=30°．
13．∵4＜BC＜14．∴当BC为4时，BD=CD=2， AD＜7．当BC=14时，BC=CD=7， 有AD＞2．∴2＜AD＜7．
14．等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是45°，则顶角是90°，高就是腰，其长为10cm．
15．设两根为x1，x2．则 x1+x2=-p① x1x2=q②
由题设及①，②可知，x1，x2均为负整数．q为质数，若q为奇数，则x1，x2均为奇数．从而p为偶数，而偶质数只有2，两个负整数之和为-2，且不相等，这是不可能的． 若q为偶数（只能是2），两个负整数之积为2，且不相等，只能是-1和-2． ∴方程的根是-1和-2．
希望杯第二届（1991年）初中二年级第二试试题
一、选择题:（每题1分，共10分）
1．如图29，已知B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，N为线段AC的中点，P为NA的中点，Q为MA的中点，则MN∶PQ等于 A．1 ; B．2; C．3; D．4
2．两个正数m，n的比是t(t＞1)．若m+n=s，则m，n中较小的数可以表示为( ) A.ts; Bs-ts; C.
( )
tss; D.. 1?s1?t3.y>0时,?x3y等于( )
A.-xxy; B.xxy; C.-x?xy; D.x?xy. 4．(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式，则a，b，c的关系可以写成( ) A．a＜b＜c. B．(a-b)2+(b-c)2=0. C．c＜a＜b. D．a=b≠c 5．如图30，AC=CD=DA=BC=DE．则∠BAE是∠BAC的 ( ) A．4倍.
B．3倍. C．2倍. D．1倍
6．D是等腰锐角三角形ABC的底边BC上一点，则AD，BD，CD满足关系式( ) A.AD2=BD2+CD2. B．AD2＞BD2+CD2. C．2AD2=BD2+CD2. D．2AD2＞BD2+CD2 7.方程x?1?219(x?)的实根个数为( ) 1010A．4 B．3. C．2 D．1
历届(1-24)“希望杯”全国数学邀请赛八年级 - 真题及答案 - 图文
