5.若方程x2+(k2-9)x+k+2=0的两个实数根互为相反数,则k的值是______.
a?b6.如果2x2-3x-1与a(x-1)2+b(x-1)+c是同一个多项式的不同形式,那么=__.
c7.方程x2-y2=1991有______个整数解.
8.当m______时,方程(m-1)x2+2mx+m-3=0有两个实数根.
9.如图2,在直角△ABC中,AD平分∠A,且BD∶DC=2∶1,则∠B等于______度.
DECAFBAEABDGCCDBF (2) (3) (4)
10.如图3,在圆上有7个点,A,B,C,D,E,F,和G,连结每两个点的线段共可作出__条. 11.D,E分别是等边△ABC两边AB,AC上的点,且AD=CE,BE与CD交于F,则∠BFC等于__度. 12.如图4,△ABC中,AB=AC=9,∠BAC=120°,AD是△ABC的中线,AE是△ABD的角平分线,DF∥AB交AE延长线于F,则DF的长为______.
13.在△ABC中,AB=5,AC=9,则BC边上的中线AD的长的取值范围是______.
14.等腰三角形的一腰上的高为10cm,这条高与底边的夹角为45°,则这个三角形的面积是______.
15.已知方程x2+px+q=0有两个不相等的整数根,p,q是自然数,且是质数,这个方程的根是______.
答案与提示
一、选择题
提示:
1.∵OP=OB-PB=OB-(AB-AP)=6-(8-5)=3.∴选(B). 2.∵以2,3代入方程,适合.故选(B).
3.∵有两条边相等的三角形是等腰三角形.∴选(D). 4.∵a=1,b=-1,c=1.∴选(C).
6.∵x=y>5的任何正整数,都可以和10作为三角形的三条边.∴选(D). 7.两直线相交所成角可以是直角,故而(A),(D)均不能成立.∴选(C). 8.设两个角为α,β.则(α+β)+(α-β)=180°, 即α=90°.故选(D).
9.∵不论x为何实数,x2+|x|+1总是大于零的.∴选(D).
即7a=2b+2,可见a只能为偶数,b+1是7的
倍数.故取(A).
11.设这11个连续奇数为:2n+1,2n+3,2n+5,…,2n+21.则 (2n+1)+(2n+3)+(2n+5)+…+(2n+21)=1991. 即 11(2n+11)=1991.
解得n=85.∴第六个数是2×85+11=181.故选(B).
∴选(A).
13.原方程可化为
(2x5-20x3+2x)+(x4-10x2+1)=0. 即 (2x+1)(x4-10x2+1)=0.
即 x4-10x2+1=0.故取(C).
14.a<-1时,a3+1<0,a2+1>0,a+1<0.而若方程的两根为x1,x2,则有
15.设M,N两地距离为S,甲需时间t1,乙需时间t2,则有
∴t1<t2,即甲先.
另外:设a=1,b=2,则甲走6小时,共走了9公里,这时乙走的时间为
从这个计算中,可以看到,a,b的值互换,不影响结果.故取(B). 二、填空题
提示:
1.设所求角为α,则有
(180°-α)-(90°-α)=90°.
4.x3+2x2y+2xy3+y3=(x3+y3)+(2x2y+2xy2) =(x+y)(x2-xy+y2)+2xy(x+y) =(x+y)(x2+xy+y2)
5.设二根为x1,-x1,则x1+(-x1)=-(k2-9). 即k2-9=0.即k=±3.
又,要有实数根,必须有△≥0. 即 (k2-9)2-4(k+2)>0.
显然 k=3不适合上面的不等式,∴k=-3.
6.由2x2-3x-1=a(x+1)2+b(x-1)+c是恒等式,故由x=1代入,得c=-2;x2项的系数相等,
有a=2,这时再以x=0代入,得-1=a-b+c.即b=1.
7.x2-y2=1991,(x-y)(y+x)=11×181可以是
9.BD∶DC=2∶1,故有AB∶AC=2∶1,直角三角形斜边与直角边之比为2∶1,则有 ∠B=30°.
10.从A出发可连6条,从B出发可连5条,(因为BA就是AB),从C出发可连4条,…,从
F出发可连一条.共计1+2+3+4+5+6=21(条).
另法:每个点出发均可连6条,共有42条.但每条都重复过一次,
11.如图28.
∠F=∠1+∠A+∠2. 又:△ADC≌△CEB. ∴ ∠1=∠3.
∴ ∠F=∠3+∠A+∠2=∠B+∠A=120°.
12.△ABC是等腰三角形,D为底边的中点,故AD又是垂线,又是分角线,故∠BAD=60°,
∠ADB=90°.又:AE是分角线,故∠DAE= ∠EAB=30°.
又:DF∥AB,∴∠F=∠BAE=30°.
在△ADF中,∠DAF=∠F=30°.∴AD=DF. 而在△ADB中,AB=9,∠B=30°.
13.∵4<BC<14.∴当BC为4时,BD=CD=2, AD<7.当BC=14时,BC=CD=7, 有AD>2.∴2<AD<7.
14.等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是45°,则顶角是90°,高就是腰,其长为10cm.
15.设两根为x1,x2.则 x1+x2=-p① x1x2=q②
由题设及①,②可知,x1,x2均为负整数.q为质数,若q为奇数,则x1,x2均为奇数.从而p为偶数,而偶质数只有2,两个负整数之和为-2,且不相等,这是不可能的. 若q为偶数(只能是2),两个负整数之积为2,且不相等,只能是-1和-2. ∴方程的根是-1和-2.
希望杯第二届(1991年)初中二年级第二试试题
一、选择题:(每题1分,共10分)
1.如图29,已知B是线段AC上的一点,M是线段AB的中点,N为线段AC的中点,P为NA的中点,Q为MA的中点,则MN∶PQ等于 A.1 ; B.2; C.3; D.4
2.两个正数m,n的比是t(t>1).若m+n=s,则m,n中较小的数可以表示为( ) A.ts; Bs-ts; C.
( )
tss; D.. 1?s1?t3.y>0时,?x3y等于( )
A.-xxy; B.xxy; C.-x?xy; D.x?xy. 4.(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式,则a,b,c的关系可以写成( ) A.a<b<c. B.(a-b)2+(b-c)2=0. C.c<a<b. D.a=b≠c 5.如图30,AC=CD=DA=BC=DE.则∠BAE是∠BAC的 ( ) A.4倍.
B.3倍. C.2倍. D.1倍
6.D是等腰锐角三角形ABC的底边BC上一点,则AD,BD,CD满足关系式( ) A.AD2=BD2+CD2. B.AD2>BD2+CD2. C.2AD2=BD2+CD2. D.2AD2>BD2+CD2 7.方程x?1?219(x?)的实根个数为( ) 1010A.4 B.3. C.2 D.1
历届(1-24)“希望杯”全国数学邀请赛八年级 - 真题及答案 - 图文
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