第3讲平面向量
高考定位 平面向量这部分内容在高考中的要求大部分都为
B级，只有平面向量的应用为 A
级要求，平面向量的数量积为 C级要求?主要考查：(1)平面向量的基本定理及基本运算， 多 以熟知的平面图形为背景进行考查，填空题难度中档； (2)平面向量的数量积，以填空题为主，难度低； 角形、不等式、解析几何结合，以解答题形式出现
(3)向量作为工具，还常与三角函数、解三
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真题感悟
1.
(2015 ?江苏卷)已知向量 a= (2 , 1) , b= (1 , - 2)，若 ma+ nb= (9 , - 8)( m n� R),
贝H m- n的值为 ______ .
2nn n = 9, 解析
T a= (2 , 1), b= (1 , - 2)，二 na + nb= (2 讨 n, m- 2n) = (9 , — 8),即
m- 2n = — 8,
m= 2,
解得 答案
—3
故 m- n= 2 — 5 =-
3.
2. (2017 ?江苏卷)如图，在同一个平面内，向量OA 呢 3(的模分别为1, 1,、问,6；与3C勺 夹角为 a ,且 tan a = 7, OE与勺夹角为 45° .若 OG= mOAn^Bm n� R),贝U m^ n=
解析 如图，设OD= mOA DO n；B则在△ ODC中有OD= m / OCD= 45
由 tan a = 7,得 COS a 又由余弦定理知
10 ,
m = n2+( '2) 2— 2 '2ncos 4 5° n2 = m+(p2) 2— 2寸2mcos a ,
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m— n = 2 — 2n, 即『-2—5m
①
2 2 7 7
①+②得 4 — 2n — 5口= 0，即 m= 10 — 5n,代入①得 12n— 49n + 49= 0，解得 n=4或 n = 3， 7 7 5 7 7 5
当n=孑时，m= 10 — 5X恳=—<0(不合题意，舍去)，当n =；时，n== 10 — 5X==：，故m+ n
答案 3
3.（2016 ?江苏卷）如图，在厶ABC中, D是BC的中点，E, F是AD上的两个三等分点，BA- CA =4, BF- CF=— 1，则 BE- CE的值是 _________ .
解析 设AB= a, AC= b,则 BA- CA= ( — a) ? ( — b) = a ? b= 4. 又??? D为BC中点，E F为AD的两个三等分点， 1 A A 1 1
则 AD= 2(AB+ AC = $a+ jb,
A
2A 1 1 AF
= 3AD= 3a+3b，
A
A 1A 1
1
AE= §AD= 6玄 + 6b,
归 討 AF= — a+3a+ 1b= — |a + 3b,
AF=
爾 F=b+* 3b=ia- 3b,
A
-
则BF- CF= — |a + 3b
1 2
3a— 3b =
可得 a2 + b2 = H9.
又 BE=討 AE=— a+ ^a+ h= — 5a+ 】b,
6 6 6 6
A
E= CAV Afe= — b+~a+ 6b=*a — |b,
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f 朮 5
1 1 5
贝UBE? CE= — §a + gb ? ga— gb 5 2 2 26 5 29 26 =—36(a +b) + 36a，b=— 36^2+36x4= 8. 答案7
4.(2017 ?江苏卷)已知向量 a= (cos x, sin x) , b= (3，— (1)若all b，求x的值；
(x) = a ? b,求f (x)的最大值和最小值以及对应的
3) , x� [0 , n ].
7
x的值.
Ta// b,「? 3sin x =— 3cos x,
/? 3si n
一 n x + 3cos x= 0,即卩 sin x + 石 =0.
n n 7
???0wxWn，「. -wX+石W6n，
n
? ?? x+ - =n，
x=— 2 3sin
⑵ f (x) = a ?b = 3cos x — 3sin
n n 2n ??? x � [0 ,n ] , ? x— — � — 3, V，
-2 < sin x — -3 < 1,— 2 3W f (x) w 3,
n
—，即x= 0时，f (x)取得最大值3; 3
当 x— n=n,即卩 x=5n 时，f (x)取得最小值—2 3.
3 2' 6
考点整合
1. 平面向量的两个重要定理
(1) 向量共线定理：向量 a(a^ 0)与b共线当且仅当存在唯一实数
入，使b= X a.
(2) 平面向量基本定理：如果 e1, e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的 任一向量
a，有且只有一对实数 入1,入2,使a=入e+ X 2e2，其中e1, e2是一组基底
2. 平面向量的两个充要条件
若两个非零向量 a=(为，y\, b=(X2, y2)，贝U (1) al b? a= X b? xy— x?y1 = 0.
⑵ a丄 b? a ? b= 0? X1X2+ y1y2= 0.
3. 平面向量的三个性质
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m— n = 2 — 2n, ①
(1)若 a= (x, y)，则 |a| = a ? a= x2+ y2. (2)若 A(X1,屮),B(X2, y2)，则
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I AB = / (X2 — xi) 2+( y2— yi)
2
(3)若 a= (xi, yi), b=(X2, y2), 0 为 a 与 b 的夹角, 则cos
a ? b I a|| b
XiX2+ yiy2 収 + y：｛x2+ y2
4. 平面向量的三个锦囊 (1)向量共线的充要条件：
O为平面上一点，则 A, B P三点共线的充要条件是 0P= XiOA^
入20B其中入1 +入2= 1).
⑵ 三角形中线向量公式：若 P为AOAB勺边AB的中点，则向量 &与向量3A 6B勺关系是6P
=2(0A+ 0B.
X X X
(3)三角形重心坐标的求法：
XA+ XB+ XC yA + yB+ yc
ABC勺重心？ GA+ G+ GC= 0? G——3-
-，一^才 -
热点一平面向量的有关运算 ［命题角度1］平面向量的线性运算
【例 1— 1】(1)(2017 ?天津卷)在厶 ABC中,/ A= 60°, AB= 3, AC= 2，若BD= 2龙 AE=
入AC— AB入� R)，且Xb- AE= — 4,贝y入的值为 ______ ⑵已知菱形 ABCD勺边长为2,Z BAb= 120°,点 E, F分别在边 BC DC上，BC= 3BE DC
=入DF若AE?AF= 1，贝U入的值为 _______
解析 (1) AB? AC= 3X 2X cos 60°= 3,
1—3
则AD- AE=
*Ai+ 2AC .(入 AC— AB
AB- AC— 3AB+ 牛AC=^X3— 1 x32+ 牛节=￡ 入一5= — 4，解得
入=不.
⑵法一 如图，XE= XB+ BE= AB+ 3BC AF= AD+ 赤=心十孑:=§C+1
3 入 入
X
B 所以 Afe? XF= XB+ [BC ? BC+亠XB = 1 +占 KB- BC+亠AB+^gC
3 入 3入 入 3
4 4
X 2X 2X cos 120 + 丁+：= 1,解得 1 = 2.
人 3
法二 建立如图所示平面直角坐标系 ?由题意知:
A(0 , 1) , C(0，— 1),政—；'3, 0),
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江苏专版高考数学二轮复习专题一三角函数与平面向量第3讲平面向量试题理
