2014年全国高中数学联赛江西省预赛题
一、填空题（每小题8分，共64分）
1、如果2014是一个正整数等差数列的第八项，那么该数列首项的最小值是 5 ．
解：设数列首项为a，公差为d，则a,d为正整数，为使a最小，当使d最大， 而由a?2014?7d，得
a20145??d??287?d，所以d?287,a?5． 7772、已知sin??cos??7244，则sin??cos?? ．
8211，所以sin?cos???，由此， 242解：将条件式平方得1+2sin?cos?=2sin4??cos4???sin2??cos2???2?sin?cos???7． 83、将1,2,3,4,5,6,7,8,9,10这十个数排成一个数列，使得每相邻两项之和皆是质数，并且首尾两项
之和也是质数，你的填法是：(1,2,3,8,5,6,7,10,9,4)．
（答案不唯一，例如?1,6,7,4,3,2,5,8,9,10?所排成的数列也可）．
x2y24、已知P是椭圆??1上一点，F1是其左焦点，Q在PF1上且满足
259?1???,?OQ??OP?OF1?OQ?3,则点P到该椭圆左准线的距离为 5 ．
2???解：
1??OQ??O?P2???1?O??,F?为QF1P中点，设椭圆右焦点为F2，连接PF2，则
设
OQ?1PF2=3 ?PF2=62.?PF1?4,P到左准线距离为
d，则
PF1ca2?b244?e???,?d??5
4daa555、正三棱锥D?ABC的底面边长为1，侧棱长为2，过点A作截面与侧棱BD,CD分别相交与点
E,F，当?AEF的周长最小时，?AEF的面积为355． 64DFEABCAFCDA1EB解：将三棱锥沿侧棱DA剪开，展平为一个五边形，然后计算。当A,E,F,A1共线时，截面?AEF周长为最小，这时等腰三角形?DAA1与?DBC具有相同的顶角平分线，
故AA1∥BC，因此，
1
2014年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答
