例：将函数
y?arctanx展开为麦克劳林级数. （07二）
n(?1)3nsinn?(?1)练习：1、判断级数?、?、?n34n?1n?1n?n?n?11(?1)的收敛性。 ?2nn?1nn??22 2、判别级数?、?的收敛性。
2n?1(1?n)n?1n!?
n、
?x2n?13、求幂级数?和 ?nx的收敛区间。
n?0n?1n?1x?14、将函数f?x??在点x?1处展开成幂级数，并指出收敛区间（端点不
03?x考虑）。（07一）
?ny?lnx展成x?1的幂级数并指出收敛区间. （06二）
16、把函数y?展开成x?1的幂级数，并求出它的收敛区间. （05一）
x?127、将函数f?x??ln(x?3x?2)展开成x的幂级数，并指出收敛半径。（06
5、将函数一）
由求
?的值。
*4、求
1?x?x?x???(?1)x246n2n??的和函数，并
求幂级数
n2n(2?1)x?n?1?n(x?2)n，?3n?1?n?1的收敛区间
12n?1?x?x???(?x)??(|x|?1)
1?x1242n?1?x?x???(?x)??(|x|?1) 21?x
f?x??ln(x?3x?2)??ln(x?2)?ln(x?1)2x???ln2?ln?1???ln(x?1)?2?
第五部分 常微分方程
一、一阶微分方程
1、微分方程的概念：微分方程的定义、阶、解、通解、初始条件、特解 2、可分离变量的方程：解法:
g(y)dy??(x)dx
(１)分离变量：
g(y)dy?f(x)dx
(２)两边积分
?g(y)dy??f(x)dx
dydyy?例:?2xy，tanx?y?1，y?esinx?0，
dxdxx2?yx2yy??xe?xee
dy?yx2x2y?xee， edy?xedx dxdy2(y?6x)?2y?0（交换变量）
dxf(x)在[1,??)具有连续例：
2x21导数，且满足
xf(x)??(1?t)f(t)dt?1，求f(x).（07二）
dyx(1?y)?例：计算微分方程满足初始条件 y(0)?1的特解. （06二）
2dxy(1?x)dyx2?x?y?(2x?1)e例：微分方程的通解y =（06一） dx
3、一阶线性方程：
2y??P(x)y?Q(x)通解为：
??P(x)dxP(x)dx?y?e[Q(x)edx?C]
y?Y?y
?也可表示为：
?sinx?例：求解微分方程y?ycosx?e.（07二）
dy例：求微分方程cosx?(sinx)y?sinx的通解. （05二）
dx
二、二阶线性微分方程
1、二阶常系数齐次线性微分方程：
y???p(x)y??q(x)y?0
2特征方程 r?pr?q?0
特征根：
r1,r2r1xr2x通解为： y?ce?c2e（c1,c2是任意常数） 1（2）若特征方程有两个相等的实根r?r?r
12rx通解为：y?(c1?c2x)e（c,c是任意常数）
12（1）若特征方程有两个不相等的实根
r1,r2
（3）若特征方程有一对共轭虚根
r1???i?,r2???i?
?x通解为： y?e(c1cos?x?c2sin?x)
2dydy例：求微分方程??0的通解. （08二）
2dxdx例：微分方程 y???4y??5y?0的通解为.（06二） 例：任给有理数
a，函数f?x?满足
x0f?x???f?a?t?dt?1，求f?x?（07一）
y???py??qy?f(x)
?x???（1）y?py?qy?pm(x)e
?x2 若?不是特征方程r?pr?q?0的根， y?Qm(x)e
若?是特征方程的单根，特解为
?xy?xQm(x)e 若?是特征方程的重根，特解
2?xy?xQm(x)e
?x???[Acos?x?Bsin?x] （2）y?py?qy?e当???i不是特征根时，
2、二阶常系数非齐次线性微分方程：
y?e[acos?x?bsin?x] 当???i是特征根时,
?xy?xe[acos?x?bsin?x].
?xy???y?2sin3x （2）y???y?2cosx （3）y???2y??6y?sin2x?5cos2x
2dydyx例：求微分方程的通解. （08一） ??e2dxdxx???例：求微分方程y?2y?5y?2e的通解. （07二）
（1）
d2ydy例：求微分方程2?3?2y?2ex满足
dxdx例：求下列方程的特解
yx?0dy?1,?0的特解。（06一）
dxx?0dydy例：求二阶微分方程?2?y?x的通解. （05一）
2dxdx例：若函数f(x)??(x?t)f(t)dt?ex，求f(x). （06二）
0x2x???例：对于y(x)?2y(x)?2y(x)?xesinx，其特解可以假设为.
（07二）
练习：
2x???1、求微分方程y?5y?6y?xe的通解
?2x???y|x?0?1,y?|x?0?0 2、解微分方程 y?2y?e??y?cos2x 3、解方程 y?
MT高数专升本教案
