例：求
?1x?a22dx(a?0)
5、分部积分法
（1）幂函数尽量不凑微分 例：求
?xcosxdx?xedx?x ，
，
2x2lnxdx ，
xarctanxdx?xcosxdx?xdsinx?xsinx?sinxdx
???113331xlnxdx?lnxdx?(xlnx?xdx) ??x3?3n（2）单一函数：lnxdx、arccosxdx
??21?lnxdx?xlnx?2?xlnxxdx
22?xlnx?2?lnxdx（3）求
2esinxdx ?x6、一些简单有理函数的积分。
1例：求
?(x?1)(x2?1)dx
1abx?c??dx??dx ??22?(x?1)(x?1)??x?1x?1?练习
xx1x1、，，， dxdxdxdx22?x2?1?x2?1?x?1?x?1232、cosxdx，cosxdx，cosxdx
???3、
234、
?tanxdx?tanxdx?tan11?4?xdx?4?xdx??4?xdx，
，
23xdx
2，
2，
14?x2dx，
2
11?e?e5、
?1?e2xdx??1?e2xdx（05年二），
?2x?2x1e1d(1?e)?1?e2xdx??1?e?2xdx??2?1?e?2xdx
23dx，x?x(1?x)（06年二）?x?1dx（08年二）
二、定积分
1、定积分的概念：定积分的定义及其几何意义 2、变上限的定积分 若
2x2xF(x)??f(t)dt，则F?(x)?f(x)
ax若
F(x)???(x)例：求
?limx?0a1f(t)dt，则F?(x)?f[?(x)]??(x)
?t2cosxedtx2??lim?x?0cosx1edt2
?t2x?limx?0e?cos2xsinx
2x33、定积分的计算（牛顿一莱布尼茨公式，换元积分法，分部积分法）
3x例：求
??11?x4dx，?02?xdx， 22?x?2x?1dx
104、无穷区间的广义积分 例：计算反常积分
???15、平面图形的面积和旋转体的体积
dx??dx??dx，，
2?2???1?x1xxA??[f2(x)?f1(x)]dx
abV???[f(x)?f(x)]dx
a类似有：
b2221A??[?2(y)??1(y)]dy，
cdV???[?(y)??(y)]dy
c 练习：
1、计算下列积分：
d22211?x?3sinx1(3?)dx (5); （6） ; dx2???1?x?0x?1?100（7）
（3）
?3/2x32dx; （4）?xedx;
1x?e?20cosxdx;（8）?2?01?cos2xdx;
(9)
?1/exlnxdx;
1?x,?1?x?0 (10)设f(x)??, 求f(x)dx.
??1x0?x?1?1（11）
（05年二）; (x?x?2)edx?2x01dx（05年一），?2??1x?3x?2年二）。
0?0，?x24?x2dx（07xsinxdx（06年二）
022（12）计算
limx?0??ex0t?e?2?dt?t（08年二）
1?cosx2、证明：（1）
??sin2??nxdx02 =
0?sinxdx
??n20nnx???t
??sin2?nxdx????sintdt??sintdt??sinxdx220nn?1 （2）设In??0sinxdx，证明：In?nIn?2
?2n?1 （3）证明：
?cosxdx?0,
?n0????0cos2n?1xdx??cos202n?1xdx???cos?2202n?2n?1xdx
??0?0cos?202nxdx?2?cos2nxdx
2ncos3、求
2n1xdx??cosxdx???cosxdx
2?y?x,x?1与x轴围成图形的面积，并求此图形分别绕x轴和y轴
第四部分 无穷级数
旋转所得的体积。
一、数项级数
MT高数专升本教案
