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号12）*2。
第一部分 函数、极限和连续
一、函数的定义域、函数的特性（有界性单调性奇偶性等）
f(x)?M或a?f(x)?b
如：y?sinx,y?cosx，反三角函数
有界：
说明：分段函数一般不是初等函数，但也有特例。如
y???xx?02??xx?0?x
二、极限的概念与计算 1、左极限：
?xlim?x00?f(x)?f(x)?f(x0?0)?A，
右极限：
xlimf(x)?f(x??0)?f(x0?0)?A ?x0结论:
xlim?xf(x)?A?xlim?x0?f(x)?xlim?x0?f(x)?A 02、xlim???f(x)?A和xlim???f(x)?A
结论:
limx??f(x)?A?xlim???f(x)?xlim???f(x)?A
三、极限的运算
1、无穷小与有界函数的乘积是无穷小。例:limsinxx??x
2、(00型)
例:limx?32x?3x?3x2?9、limx?1x2?5x?4??
? 3、(型)
?mm?12a0x?a1x???amx?2x?5例：lim、lim
2nn?1x??3x?x?1x??bx?bx???bn01n?2?23???n?2n3?23??limnn?1?lim?3
nn??2?3n???2????3?3?11n?11?2???(?1)] 4、例:lim[nn??222(含数列之和,先求和) 四、无穷小与无穷大
1、无穷小与无穷大的判别。
x?1例：f(x)?何时是无穷小？何时是无穷大？是否有水平或铅直渐近线？
x2x练习：f(x)?何时是无穷小？何时是无穷大？是否有水平或铅直渐近线？
x?1
2、无穷小的比较：
2?(x)?(x)?(x)?1 lim?0， lim??，lim?(x)?(x)?(x)五、两个重要极限 1、夹逼准则： 若
yn?xn?zn，limyn?limzn?a，limxn?a
n??n??n??sinx?1 2、第一类重要极限：limx?0x0 特点：(1)型 (2)含三角函数或反三角函数
0sin3x例:lim，
x?0xtg2xsin2x1lim?limx?03xx?03xcos2x，
2sin2x12?lim?3x?02xcos2x32x2sin1?cosx2， lim?lim22x?0x?0xxarcsinxsin3xsinx,lim,lim limx?0x?0sin2xx??x??x3、第二类重要极限：
1xlim(1?)?lim(1?x)?e x??x?0x1特点：(1)底数:1???1 (2)指数:??
1xx?1x例:求lim(1?2x)lim()
x?0x??x?11x，
?六、函数的连续性 1、定义
x?x0limf(x)?f(x0)
?xx?0例 讨论函数f(x)??在x?0处的连续性。
?2xx?02、函数的间断点(不连续点)：没有定义、limf(x)不存在、
x?x0x?x0limf(x)?f(x0)
3、初等函数的连续性：一切初等函数在定义区间内是连续的。 4、有界性与最大值最小值定理
5、零点定理 例 证明方程6、介值定理 练习:
x?4x?1?0在区间(0,1)内至少有一个根
32xx，lim limx?0x?1?1x???x2?1?13、求极限：
f(x)?(2?3)x?(2?3)x的奇偶性；
n?12113?1，2x?cosx，n2、求极限：lim，lim(1??2)limn2n??n??2?3nx??x?sinxnn1、判定函数
lim[n??1n?12?11xn?2?2???1n?n2]
4、讨论极限：
limx?0e?e1x1x；
e?esinx5、求函数y?的连续区间。若有间断点，试指出间断点的类型；
2x?x6．设f(x)的定义域为[0,1]，则函数
1?x1??f?x???4??1?的定义域是 （ D ） (09年) ?f?x??4??1311A．[0,1] B．?15? C．??,? D．?,?
?,?????44???44???44?1x7．下列极限存在的是 （ B ） (09年)
xA．lim B．lim2
x??sinxx??n21?1?C．lim?1? D．lim ?n???x?02x?1n?8. 若lima?k（k为常数），则liman2n? k 。
n??n???e,x?09．设函数f(x)??在x?0处连续，
?a?x,x?0则a? 1 。 (09年) 10．
xx???nlim1x(x?x?4)nnn2?（05年）
lim2?3?5?511．（06年）
n??x???12．设limf(x)?1，则lim[f(x?2)?f(x)]=。
x???ex?e?x?213.计算lim． (09年) 2x?0x14．设曲线y?f(x)在原点与曲线y?sinx相切，
?2?求limnf??(09年) n???n?15．求极限（08年）
x???lim??a?x??b?x???a?x??b?x??.
MT高数专升本教案
