十年寒窗/青春飞度/想我父母/含辛茹苦/念我师友/千般叮嘱/师长翘首/望我高翔/学海浩荡/待我远航 决战高考/立我誓言/闻鸡起舞/不废时光/卧薪尝胆/奋发图强/绝不退缩/绝不彷徨/竭尽全力/铸就辉煌
2.解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞).
①若a≤0,因为f=-+aln 2<0,所以不满足题意.
②若a>0,由f'(x)=1-=知,当x∈(0,a)时,f'(x)<0;当x∈(a,+∞)时,f'(x)>0.所以f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增.故x=a是f(x)在(0,+∞)上的唯一极小值点. 由于f(1)=0,所以当且仅当a=1时,f(x)≥0, 故a=1.
(2)由(1)知当x∈(1,+∞)时,x-1-ln x>0.
令x=1+,得ln<,从而
ln+ln+…+ln<++…+=1-<1.
故… 而>2,所以m的最小值为3. 3.解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=--1+=-. (i)若a≤2,则f'(x)≤0,当且仅当a=2,x=1时f'(x)=0,所以f(x)在(0,+∞)单调递减. (ii)若a>2,令f'(x)=0,得x=或x=. 当x∈0,∪,+∞时,f'(x)<0; 当x∈,时,f'(x)>0.所以f(x)在0,,,+∞单调递减,在 ,单调递增. 6 十年寒窗/青春飞度/想我父母/含辛茹苦/念我师友/千般叮嘱/师长翘首/望我高翔/学海浩荡/待我远航 决战高考/立我誓言/闻鸡起舞/不废时光/卧薪尝胆/奋发图强/绝不退缩/绝不彷徨/竭尽全力/铸就辉煌 (2)证明:由(1)知,f(x)存在两个极值点当且仅当a>2. 由于f(x)的两个极值点x1,x2满足x2-ax+1=0,所以x1x2=1,不妨设x1 由于=--1+a=-2+a=-2+a,所以 设函数g(x)=-x+2ln x,由(1)知,g(x)在(0,+∞)单调递减,又g(1)=0,从而当x∈(1,+∞)时,g(x)<0, 所以-x2+2ln x2<0,即题组二 刷模拟 4.解:f'(x)=(x-1)ex+a =(x>0). (1)令g(x)=xex-a(x>0),则g'(x)=(x+1)ex>0,g(x)在(0,+∞)上单调递增, 则g(x)>g(0)=-a. 因此,当a≤0或a=e时,f'(x)只有一个零点; 当0 (2)当a≤0时,xex-a>0,则函数f(x)在x=1处取得最小值,最小值为f(1)=-e,符合题意. 当a>0时,函数y=xex-a在(0,+∞)上单调递增,则必存在正数x0,使得x0 -a=0. 若a>e,则x0>1,函数f(x)在(0,1)与(x0,+∞)上单调递增,在(1,x0)上单调递减, 又f(1)=-e,故不符合题意. 若a=e,则x0=1,f'(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增, 又f(1)=-e,故不符合题意. 若0 则f(b)=(b-2)eb+a(ln b-b+1) -b+1)=a=-e-ab<-e, 7 十年寒窗/青春飞度/想我父母/含辛茹苦/念我师友/千般叮嘱/师长翘首/望我高翔/学海浩荡/待我远航 决战高考/立我誓言/闻鸡起舞/不废时光/卧薪尝胆/奋发图强/绝不退缩/绝不彷徨/竭尽全力/铸就辉煌 与函数f(x)的最小值为-e矛盾. 综上所述,a的取值范围为(-∞,0]. 5.解:(1)h(x)=-x2+2x-1, h'(x)=-x+2=(x-2). 由h'(x)>0,得0 ∴h(x)在(-∞,0),(2,+∞)上单调递减,在(0,2)上单调递增, ∴h(x)的极大值为h(2)=1-,h(x)的极小值为h(0)=0. (2)证明:∵f'(x)=,∴f'(0)=-2, 又f(0)=1,∴f(x)的图像在x=0处的切线方程为y=-2x+1. ∵g'(x)=-2x+b,∴g'(0)=b=-2,又易知g(x)的图像过点(0,1), ∴g(x)=-x2-2x+1. ∵-2x+1≥-x2-2x+1恒成立,∴只需证≥-2x+1恒成立. 令m(x)=+2x-1,则m'(x)=. 令n(x)=2ex+x-2,则n(x)在R上单调递增,且n(0)=0, ∴m(x)在(0,+∞)上单调递增,在(-∞,0)上单调递减,∴m(x)≥m(0)=0恒成立,∴≥-2x+1恒成 立, ∴≥-2x+1≥-x2-2x+1恒成立,即h(x)≥0恒成立. 6.解:(1)由题可得f'(x)=ex-x+a, 8 十年寒窗/青春飞度/想我父母/含辛茹苦/念我师友/千般叮嘱/师长翘首/望我高翔/学海浩荡/待我远航 决战高考/立我誓言/闻鸡起舞/不废时光/卧薪尝胆/奋发图强/绝不退缩/绝不彷徨/竭尽全力/铸就辉煌 设g(x)=ex-x+a,则g'(x)=ex-1, 所以当x>0时,g'(x)>0,f'(x)在(0,+∞)上单调递增, 当x<0时,g'(x)<0,f'(x)在(-∞,0)上单调递减, 所以f'(x)≥f'(0)=1+a.因为a>-1,所以1+a>0,即f'(x)>0, 所以函数f(x)在R上单调递增. (2)证明:由(1)知f'(x)在[1,+∞)上单调递增, 因为a<1-e,所以f'(1)=e-1+a<0, 所以存在t∈(1,+∞),使得f'(t)=0,即et-t+a=0,即a=t-et, 所以函数f(x)在[1,t)上单调递减,在(t,+∞)上单调递增,所以当x∈[1,+∞)时, f(x)min=f(t)=et-t2+at=et-t2+t(t-et)=et(1-t)+t2. 令h(x)=ex(1-x)+x2,x>1,则h'(x)=x(1-ex)<0恒成立, 所以函数h(x)在(1,+∞)上单调递减,所以h(x) 所以et(1-t)+t2<,即当x∈[1,+∞)时,f(x)min<, 故函数f(x)在[1,+∞)上的最小值小于. 解答必刷卷(二) 题组一 刷真题 1.解:(1)由角α的终边过点P得sin α=-, 所以sin(α+π)=-sin α=. 9 十年寒窗/青春飞度/想我父母/含辛茹苦/念我师友/千般叮嘱/师长翘首/望我高翔/学海浩荡/待我远航 决战高考/立我誓言/闻鸡起舞/不废时光/卧薪尝胆/奋发图强/绝不退缩/绝不彷徨/竭尽全力/铸就辉煌 (2)由角α的终边过点P得cos α=-, 由sin(α+β)=得cos(α+β)=±. 由β=(α+β)-α得cos β=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α, 所以cos β=-或cos β=. 2.解:(1)在△ABD中,由正弦定理得=. 由题设知,=,所以sin∠ADB=. 由题设知,∠ADB<90°,所以cos∠ADB==. (2)由题设及(1)知,cos∠BDC=sin∠ADB=. 在△BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2·BD·DC·cos∠BDC=25+8-2×5×2所以BC=5. ×=25, 3.解:(1)由题设得acsin B=,即csin B=, 由正弦定理得sin Csin B=. 故sin Bsin C=. (2)由题设及(1)得cos Bcos C-sin Bsin C=-,即cos(B+C)=-, 所以B+C=,故A=. 由题设得bcsin A= ,即bc=8. 10
2019届高考理科数学考前必刷卷（解答题部分）
