§3 解析函数的Taylor展式
一、教学目标或要求：
掌握 一些基本初等函数的泰勒展式
二、教学内容（包括基本内容、重点、难点）： 基本内容：解析函数的泰勒展式 重点：基本初等函数的泰勒展式 难点：基本初等函数的泰勒展式 三、教学手段与方法： 讲授、练习
四、思考题、讨论题、作业与练习： 5－7
§3 解析函数的Taylor展 1. 泰勒定理
定理4.14 设G为区域，点a?G，圆K:z?a?R含于G（图5-1），若函数f(z)在G内解析，则在K内有
f(z)??cn(z?a)n (4.8)
n?0?其中
f(n)(0),n?0,1,2,? (4.9) cn?n!且上述展式是唯一的。
证明：设为内任一点，在内以为心，由哥西公式可得
为半径作一圆周，使在内，
下面将展为幂级数，考虑到展式应以圆心为中心，把改写为
当
时
由哥西公式将
下面证明展式的唯一性。设有另一个以为中心的不同于上式的泰勒级数
那么有
所以展式是唯一的。
定义 4.6 (4.8)称为f(z)在点a的泰勒展式，(4.9)称为其泰勒系数，而(4.8)右边的级数，则称为泰勒级数。
定理4.15 f(z)在区域G内解析的充要条件是在G内任一点的邻域内可展开成
z?a的幂级数，即泰勒级数。 证:“
”泰勒定理
“”幂级数和的解析性定理。
2. 幂级数的和函数在其收敛圆周上的状况 定理4.16 如果幂级数?cn(z?a)n的收敛半径，且
n?0?f(z)??cn(z?a)n, z?K:z?a?R
n?0?则f(z)在收敛圆周C:z?a?R上至少有一奇点，即不可能有这样的函数存在，它在z?a?R内与f(z)恒等，而在C上处处解析. 证 反证法。假设这样的的圆，其上
覆盖
存在，则对
上的任何一点都存在某个以该点为心
解析，由有限覆盖定理在这些圆中必存在有限个圆构成的区域 ，记
内解析。由泰勒定理，
在
，则
中可展为泰勒级数,但
在 在
中与恒等。故 与 在 点的各阶导数均相同，因此
也是 的泰勒级数，但其收敛半径，与
的收敛半径为矛盾。故这样的 不存在。
例 对
① 当时，，且
在
收敛，故由优级数判别法上有定义。 上必有
的奇点。 如
在上绝
对收敛且一致收敛，故②
在
上是解析的，但
在
即为的在
一个奇点。事实上，若处解析，则有幂级数和的解析性
也解析，但,,当 在 内沿实轴趋于1时
，故在处不解析，矛盾. 因此 为 的一个奇点。
3. 一些初等函数的泰勒展式 讨论：
(1)泰勒展式是唯一的，因此可用任何方法来求一个解析函数的泰勒展式，不一定要用公式
来求系数，即可用简接法展开。
(2)由于幂函数的和是解析函数，而解析函数又可以展为唯一的泰勒级数，所以解析函数与幂级数有着不可分割的联系。这样，解析函数的充分必要条件可表为：
在D内解析
在D内任一点的某领域内可展成幂级数(泰勒级数)。
(3)几个初等函数的泰勒级数
求泰勒展式的方法
1．直接展开，用例 求 解
以
的主值支在
及
处的幂级数展开式。 为支点，将平面沿负实轴从
到
割破，则
，
取主值即。
时，
可分出无穷多个单值解析分支
其中 称为
的主值支。记
在
由于,故的泰勒级数
。
于是
从而
的第 个分支在
处的泰勒展式为
例 求解 由条件由于
知
的解析分支
取主值支，记
在
处的泰勒展式。 ，则
故
的泰勒系数为
从而所给
的解析分支在
处的泰勒展式为
例 求
在
处的泰勒展式
解 令 ，则
故 ，
2.利用级数的加、减、乘运算。
§3解析函数的Taylor展式解读
