??＝3÷20＝15%，
故答案为：501，15%；
选择乙机器，理由：乙的不合格率较小，
位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．
某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道????上架设测角仪，先在点??处测得观星台最高点??的仰角为22°，然后沿????方向前进16??到达点??处，测得点??的仰角为45°．测角仪的高度为1.6??． （1）求观星台最高点??距离地面的高度（结果精确到0.1??．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，√2≈1.41）；
（2）“景点简介”显示，观星台的高度为12.6??．请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．
【答案】
过??作????⊥????于??，延长????交????于??， 则四边形????????，四边形????????是矩形，
∴ ????＝????＝16??，????＝????＝????＝1.6??， ∵ ∠??????＝90°，∠??????＝45°， ∴ △??????是等腰直角三角形， ∴ ????＝????， 设????＝????＝??， ∴ ????＝16+??， ∵ ∠??????＝22°， ∴ tan22°=
????????
=
??16+??
=0.40，
∴ ??≈10.7(??)，
∴ ????＝10.7+1.6＝12.3(??)，
答：观星台最高点??距离地面的高度约为12.3??； ∵ “景点简介”显示，观星台的高度为12.6??， ∴ 本次测量结果的误差为12.6?12.3＝0.3??，
减小误差的合理化建议为：为了减小误差可以通过多次测量取平均值的方法．
【考点】
试卷第11页，总20页
解直角三角形的应用-仰角俯角问题 【解析】
（1）过??作????⊥????于??，延长????交????于??，则四边形????????，四边形????????是矩形，于是得到????＝????＝16??，????＝????＝????＝1.6??，求得????＝????，设????＝????＝??，得到????＝16+??，解直角三角形即可得到结论；
（2）建议为：为了减小误差可以通过多次测量取平均值的方法． 【解答】
过??作????⊥????于??，延长????交????于??， 则四边形????????，四边形????????是矩形，
∴ ????＝????＝16??，????＝????＝????＝1.6??， ∵ ∠??????＝90°，∠??????＝45°， ∴ △??????是等腰直角三角形， ∴ ????＝????， 设????＝????＝??， ∴ ????＝16+??， ∵ ∠??????＝22°， ∴ tan22°=
????????
=
??16+??
=0.40，
∴ ??≈10.7(??)，
∴ ????＝10.7+1.6＝12.3(??)，
答：观星台最高点??距离地面的高度约为12.3??； ∵ “景点简介”显示，观星台的高度为12.6??， ∴ 本次测量结果的误差为12.6?12.3＝0.3??，
减小误差的合理化建议为：为了减小误差可以通过多次测量取平均值的方法．
暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下． 方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠； 方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠． 设某学生暑期健身??（次），按照方案一所需费用为??1（元），且??1＝??1??+??；按照方案二所需费用为??2（元），且??2＝??2??．其函数图象如图所示．
（1）求??1和??的值，并说明它们的实际意义；
试卷第12页，总20页
（2）求打折前的每次健身费用和??2的值；
（3）八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案所需费用更少？说明理由．
【答案】
∵ ??1＝??1??+??过点(0,?30)，(10,?180)， ??=30??=15
∴ { ，解得{1 ，
10??1+??=180??=30
??1＝15表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡后每次健身费用为15元， ??＝30表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡的费用为30元； 由题意可得，打折前的每次健身费用为15÷0.6＝25（元）， 则??2＝25×0.8＝20；
选择方案一所需费用更少．理由如下： 由题意可知，??1＝15??+30，??2＝20??． 当健身8次时，
选择方案一所需费用：??1＝15×8+30＝150（元）， 选择方案二所需费用：??2＝20×8＝160（元）， ∵ 150<160，
∴ 选择方案一所需费用更少．
【考点】
一次函数的应用 【解析】
（1）把点(0,?30)，(10,?180)代入??1＝??1??+??，得到关于??1和??的二元一次方程组，求解即可；
（2）根据方案一每次健身费用按六折优惠，可得打折前的每次健身费用，再根据方案二每次健身费用按八折优惠，求出??2的值；
（3）将??＝8分别代入??1、??2关于??的函数解析式，比较即可． 【解答】
∵ ??1＝??1??+??过点(0,?30)，(10,?180)， ??=30??=15
∴ { ，解得{1 ，
10??1+??=180??=30
??1＝15表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡后每次健身费用为15元， ??＝30表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡的费用为30元； 由题意可得，打折前的每次健身费用为15÷0.6＝25（元）， 则??2＝25×0.8＝20；
选择方案一所需费用更少．理由如下： 由题意可知，??1＝15??+30，??2＝20??． 当健身8次时，
选择方案一所需费用：??1＝15×8+30＝150（元）， 选择方案二所需费用：??2＝20×8＝160（元）， ∵ 150<160，
∴ 选择方案一所需费用更少．
试卷第13页，总20页
我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具--三分角器．图1是它的示意图，其中????与半圆??的直径????在同一直线上，且????的长度与半圆的半径相等；????与????垂直于点??，????足够长．
使用方法如图2所示，若要把∠??????三等分，只需适当放置三分角器，使????经过∠??????的顶点??，点??落在边????上，半圆??与另一边????恰好相切，切点为??，则????，????就把∠??????三等分了．
为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．
已知：如图2，点??，??，??，??在同一直线上，????⊥????，垂足为点??，________． 求证：________．
【答案】
????＝????，????切半圆??于??,????，????就把∠??????三等分 【考点】 数学常识 切线的性质 圆周角定理 垂径定理
【解析】
根据垂直的定义得到∠??????＝∠??????＝90°，根据全等三角形的性质得到∠1＝∠2，根据切线的性质得到∠2＝∠3，于是得到结论． 【解答】
已知：如图2，点??，??，??，??在同一直线上，????⊥????，垂足为点??，????＝????，????切半圆??于??．
求证：????，????就把∠??????三等分， 证明：∵ ????⊥????， ∴ ∠??????＝∠??????＝90°， ∵ ????＝????，????＝????， ∴ △???????△??????(??????)， ∴ ∠1＝∠2， ∵ ????⊥????，
∴ ????是⊙??的切线， ∵ ????切半圆??于??， ∴ ∠2＝∠3，
∴ ∠1＝∠2＝∠3，
∴ ????，????就把∠??????三等分．
试卷第14页，总20页
如图，抛物线??＝???2+2??+??与??轴正半轴，??轴正半轴分别交于点??，??，且????＝????，点??为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式及点??的坐标；
（2）点??，??为抛物线上两点（点??在点??的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点??为抛物线上点??，??之间（含点??，??）的一个动点，求点??的纵坐标????的取值范围．
【答案】
∵ 抛物线??＝???2+2??+??与??轴正半轴分别交于点??， ∴ 点??(0,???)， ∵ ????＝????＝??， ∴ 点??(??,?0)，
∴ 0＝???2+2??+??， ∴ ??＝3或0（舍去），
∴ 抛物线解析式为：??＝???2+2??+3， ∵ ??＝???2+2??+3＝?(???1)2+4， ∴ 顶点??为(1,?4)；
∵ ??＝???2+2??+3＝?(???1)2+4， ∴ 对称轴为直线??＝1，
∵ 点??，??为抛物线上两点（点??在点??的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，
∴ 点??的横坐标为?2或4，点??的横坐标为6，
∴ 点??坐标为(?2,??5)或(4,??5)，点??坐标(6,??21)，
∵ 点??为抛物线上点??，??之间（含点??，??）的一个动点， ∴ ?21≤????≤4或?21≤????≤?5． 【考点】
二次函数的性质
二次函数图象上点的坐标特征 待定系数法求二次函数解析式
【解析】
（1）先求出点??，点??坐标，代入解析式可求??的值，即可求解； （2）先求出点??，点??坐标，即可求解． 【解答】
∵ 抛物线??＝???2+2??+??与??轴正半轴分别交于点??， ∴ 点??(0,???)， ∵ ????＝????＝??，
试卷第15页，总20页
2024年河南省中考数学试卷
