典例4 (12分)(2024·全国Ⅰ)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得－1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得－1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X. (1)求X的分布列；
(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i＝0,1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，pi＝api－1＋bpi＋cpi＋1(i＝1,2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1).假设α＝0.5，β＝0.8. (ⅰ)证明：{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)为等比数列； (ⅱ)求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性. 审题路线图
?1?确定x的取值情况→求概率→写分布列
?2?确定系数a，b，c→构造并证明等比数列――――→求p4→说明试验方案的合理性
规 范 解 答·分 步 得 分 (1)解 X的所有可能取值为－1,0,1. P(X＝－1)＝(1－α)β， P(X＝0)＝αβ＋(1－α)(1－β)， 构 建 答 题 模 板 第一步 定元：确定随机变量的已知p0，p8
P(X＝1)＝α(1－β).………………………………………………………………3分 所以X的分布列为 X P －1 (1－α)β 0 αβ+(1－α)(1－β) …………………………………………………………………………………4分 (2)(ⅰ)证明 由(1)得a＝0.4，b＝0.5，c＝0.1. ……………………………5分 因此pi＝0.4pi－1＋0.5pi＋0.1pi＋1，故0.1(pi＋1－pi)＝0.4(pi－pi－1)，即pi＋1－pi＝1 α(1－β) 意义和取值. 第二步 定性：确定概率模型并计算随机变量取每一个值的概率. 4(pi－pi－1). ………………………………………………………………………6分 第三步 又因为p1－p0＝p1≠0，所以{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)为公比为4，首项为p1的等比数列. ……………………………………………………………………7分 (ⅱ)解 由(ⅰ)可得 p8＝p8－p7＋p7－p6＋…＋p1－p0＋p0 ＝(p8－p7)＋(p7－p6)＋…＋(p1－p0) 48－1＝p. 31列表：写出随机变量的分布列. 第四步 求解：利用随机变量的分布列，等3由于p8＝1，故p1＝8，……………………………………………………10分 比数列累加4－1法并结合题所以p4＝(p4－p3)＋(p3－p2)＋(p2－p1)＋(p1－p0) 目条件求44－1＝p 31解. ＝1.……………………………………………………………………………11分 257p4表示题干中的实验方案最终认为甲药更有效的概率.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p4＝1257≈0.003 9，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理. …12分 评分细则 第(1)问：三个概率写正确给3分；分布列写正确再给1分.
第(2)问：(ⅰ)a，b，c三个值正确给1分；写出推导公式给1分，判断首项给1分. (ⅱ)利用等比数列累加列方程给3分；求出p4，写出结论给1分.
跟踪演练4 (2024·全国Ⅱ改编)下图是某地区2002年至2024年环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折线图.
为了预测该地区2024年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2002年至2024年的数据(时间变量t的值依次为1,2，…，17)建立模型①：y ＝－30.4＋13.5t；根据2012年至2024年的数据(时间变量t的值依次为1,2，…，7)建立模型②：y ＝99＋17.5t.
(1)分别利用这两个模型，求该地区2024年的环境基础设施投资额的预测值； (2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由.
解 (1)利用模型①，可得该地区2024年的环境基础设施投资额的预测值为y ＝－30.4＋13.5×19＝226.1(亿元).
利用模型②，可得该地区2024年的环境基础设施投资额的预测值为y ＝99＋17.5×9＝256.5(亿元).
(2)利用模型②得到的预测值更可靠. 理由如下：
(ⅰ)从折线图可以看出，2002年至2024年的数据对应的点没有随机散布在直线y＝－30.4＋13.5t上下，这说明利用2002年至2024年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2012年相对2011年的环境基础设施投资额有明显增加，2012年至2024年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2012年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2012年至2024年的数据建立的线性模型y ＝99＋17.5t可以较好地描述2012年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更
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可靠.
(ⅱ)从计算结果看，相对于2024年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠.
板块2 核心考点突破拿高分 专题4 规范答题示例4（教师版）备战2024年高考理科数学二轮复习提分讲义
