2020年北京市海淀区高三二模试卷 数 学 2020.6
本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分(选择题共40分)
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 若全集??=??，??={??|??<1},??={??|??>?1},则
A. ?????
B. ?????
C. ?????????
D. ?????????
2. 下列函数中，值域为[0,+∞)且为偶函数的是
A. ??=??2
B. ??=|???1|
C. ??=????????
D. ??=??????
3. 若抛物线??2=12??的焦点为??，点??在此抛物线上且横坐标为3，则|????|等于
A. 4
B. 6
C. 8
D. 10
4. 已知三条不同的直线??,??,??和两个不同的平面??，??，下列四个命题中正确的为
A. 若??∥??,??∥??,则??∥?? C. 若??∥??，??∥??，则??∥??
17
B. 若??∥??,?????,则??∥?? D. 若??∥??，??⊥??，则??⊥??
5. 在△??????中，若??=7,??=8,????????=?，则∠??的大小为
A. 6 ??
B. 4
??6
??
??3
C. 3
??
D. 2
??
6. 将函数??(??)=sin?(2???)的图象向左平移个单位长度，得到函数??(??)的图象，则??(??)=
A. sin?(2??+6) C. ??????2??
??
B. sin?(2??+D. ???????2??
2??3
)
第 1 页 共 12 页
7.某三棱锥的三视图如图所示，如果网格纸上小正方形的边长为1,那么该三棱锥的体积为
A. 3 B.
342
C. 2 D. 4
8.对于非零向量??,??,“(??+??)·??=2??2”是“??=??”的
A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件
B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
9. 如图，正方体???????????1??1??1??1的棱长为2，点??为底面????????的中心，点??在侧面????1??1??的边界及其内部运动，若??1??⊥????，则△??1??1??面积的最大值为
A. B.
2√55
4√5
5
C. √5 D. 2√5
10.为了预防新型冠状病毒的传染，人员之间需要保持一米以上的安全距离，某公司会议室共有四行四列座椅，并且相邻两个座椅之间的距离超过一米，为了保证更加安全，公司规定在此会议室开会时，每一行、每一列均不能有连续三人就座，例如下图中第一列所示情况不满足条件(其中“√”表示就座人员).根据该公司要求，该会议室最多可容纳的就座人数为
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
第 2 页 共 12 页
第二部分(非选择题共110分)
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 11. 若复数(2???)(??+??)为纯虚数，则实数??= .
12. 已知双曲线??的一条渐近线方程为??=??，且焦距大于4，则双曲线??的标准方程可以为 .(写出一个即可)
13. 数列{????}中，??1=2，????+1=2????，??∈???,若其前??项和为126，则??= .
????? |=|????????? ?????????? |,??为坐标原点，则|????????? |= 14. 已知点??(2,0),??(1,2),??(2,2),|????????? 与????????? 夹角的取值范围是 ????
.
，
????+1,??≤0
15. 已知函数??(??)={给出下列三个结论：
|??????|,??>0????
①当??=?2时，函数??(??)的单调递减区间为(?∞,1); ②若函数??(??)无最小值，则??的取值范围为(0,+∞);
③若??<1且??≠0，则???∈??，使得函数??=??(??)???恰有3个零点??1，??2,??3，且??1??2??3=?1.其中，所有正确结论的序号是
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 16.(本小题共14分)
已知{????}是公差为??的无穷等差数列，其前??项和为????.又 ，且??5=40，是否
.
存在大于1的正整数??，使得????=??1?若存在，求??的值;若不存在，说明理由. 从①??1=4,②??=?2这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答. 注:如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分。
第 3 页 共 12 页
17.（本小题共14分）
在四棱锥???????????中，地面????????为直角梯形，????∥????，∠??????=90°，????=????=
12
????=1，??为线段????的中点，????⊥底面????????，点??是棱????的中点，平面??????与棱????
相交于点??.
（I）求证：????∥????；
（II）若????与????所成的角为4，求直线????与平面??????所成角的正弦值.
??
18(本小题共14分)
为了推进分级诊疗，实现“基层首诊、双向转诊、急慢分治、上下联动”的诊疗模式，某地区自2016年起全面推行家庭医生签约服务.已知该地区居民约为2000万，从1岁到101岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图1所示.为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了1000名年满18周岁的居民，各年龄段被访者签约率如图2所示.
(I)估计该地区年龄在71~80岁且已签约家庭医生的居民人数;
第 4 页 共 12 页
(II)若以图2中年龄在71~80岁居民签约率作为此地区该年龄段每个居民签约家庭医生的概率，则从该地区年龄在71~80岁居民中随机抽取两人，求这两人中恰有1人已签约家庭医生的概率;
(Ill)据统计，该地区被访者的签约率约为44%.为把该地区年满18周岁居民的签约率提高到55%以上，应着重提高图2中哪个年龄段的签约率?并结合数据对你的结论作出解释.
19.（本小题共15分）
已知椭圆??：??2+??2=1(??>??>0)过??(0,1),??(0,?1)两点，离心率为2. （I）求椭圆??的方程；
（II）过点??的直线??与椭圆??的另一个交点为??，直线??交直线??=2于点??，记直线????，????的斜率分别为??1,??2,求??1??2的值.
20.（本小题共14分）
已知函数??(??)=????(????????+????????). （I）求??(??)的单调递增区间；
（II）求证：曲线??=??(??)在区间(0,)上有且只有一条斜率为2的切线。
2??
??2
??2
√3
第 5 页 共 12 页
2020年北京市海淀区高三数学二模试卷及标答
