第二章 分解因式
1．分解因式
教学目标：
（一）知识与技能：
（1）使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念．
（2）认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系，并能运用这种关系寻求因式分解的方法．
（二）过程与方法：
（1）由学生自主探索解题途径，在此过程中，通过观察 、类比等手段，寻求因式分解与因数分解之间的关系，培养学生的观察能力，进一步发展学生的类比思想． （2）由整式乘法的逆运算过渡到因式分解，发展学生的逆向思维能力．
（3）通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，培养学生的分析问题能力与综合应用能力．
（三）情感与态度：
让学生初步感受对立统一的辨证观点以及实事求是的科学态度． 教学重点：理解因式分解的概念.
教学难点：因式分解与整式乘法的相互关系 教学方法：探索、归纳 教学过程 一、 问题
用简便方法计算：
777（1）?13??6??2=
999（2）-2.67×132+25×2.67+7×2.67= （3）992–1= ．
注意：学生对于（1）（2）两小题逆向利用乘法的分配律进行运算的方法是很熟悉，对于第（3）小题的逆向利用平方差公式的运算则有一定的困难，因此，有必要引导学生复习七年级所学过的整式的乘法运算中的平方差公式，帮助他们顺利地逆向运用平方差公式． 二 、探究
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提问：993–99能被100整除吗？你是怎么得出来的？
注意：由于有了第一环节的铺垫，学生对于本环节问题的理解则显得比较轻松，学生能回答出993–99能被100、99、98整除，有的同学还回答出能被33、50、200等整除，此时，教师应有意识地引导，使学生逐渐明白解决这些问题的关键是——把一个多项式化为积的形式． 看谁算得准 计算下列式子：
（1）3x(x-1)= ； （2）m(a+b+c)= ； （3）（m+4）(m-4)= ； （4）（y-3）2
= ；
（5）a(a+1)(a-1)= ． 根据上面的算式填空：
（1）ma+mb+mc= ； （2）3x2-3x= ； （3）m2-16= ； （4）a3-a= ； （5）y2-6y+9= ． 三、梳理
比较以下两种运算的联系与区别： （1） a(a+1)(a-1)= a3-a （2） a3-a= a(a+1)(a-1)
在第三环节的运算中还有其它类似的例子吗？除此之外，你还能找到类似的例子吗？结论：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
辨一辨：下列变形是因式分解吗？为什么？
（1）a+b=b+a （2）4x2y–8xy2+1=4xy(x–y)+1 （3）a(ab)=a2–ab （4）a2–2ab+b2=(a–b)2 通过学生的讨论，使学生更清楚以下事实：
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（1）分解因式与整式的乘法是一种互逆关系； （2）分解因式的结果要以积的形式表示；
（3）每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来的多项式的次数； （4）必须分解到每个多项式不能再分解为止．
学生通过讨论，能找出分解因式与整式的乘法的联系与区别，基本清楚了“分解因式与整式的乘法是一种互逆关系”以及“分解因式的结果要以积的形式表示”这两种事实，后两种事实是在老师的引导与启发下才能完成． 四、应用.
例1 下列各式从左到右的变形哪些是分解因式？哪些是整式乘法? (1) x2-4y2=(x+2y)(x-2y) (2) 2x(x-3y)=2x2-6xy
(3)(5a?1)2 =25a2-10a+1 (4) x2+4x+4=(x?2)2 (5) (a-3)(a+3)=a2-9 (6)m2- 4=(m+2)(m-2) (7)2πR+ 2πr= 2π(R+r)
解：(1)(4)(6)(7)是分解因式, (2)(3)(5)是整式的乘法. 例2 已知x2?2x?p可以分解为?x?3??x?5? ，求p的值.
思路导航：利用因式分解与整式乘法互为逆运算的关系，可知，分解前后的两个代数式是相等的，所以可以利用整式乘法解决此题. 解：∵x2?2x?p=x2?2x?15
∴p=-15
五、评价：随堂练习1、2题 六、课堂小结
从今天的课程中，你学到了哪些知识？掌握了哪些方法？明白了哪些道理？ 七、巩固练习：课本第45页习题2.1第1，2，3题
思考题：课本第45页习题2.1第4题（给学有余力的同学做）
教学反思
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2．提公因式法（一）
教学目标： (一)知识与技能：
（1）使学生经历探索寻找多项式各项的公因式的过程，能确定多项式各项的公因式； （2）会用提取公因式法进行因式分解． （二）能力目标：
（1）由学生自主探索解题途径，在此过程中，通过观察、对比等手段，确定多项式各项的公因式，加强学生的直觉思维，渗透化归的思想方法，培养学生的观察能力；
（2）由乘法分配律的逆运算过渡到因数分解，再由单项式与多项式的乘法运算过渡到因式分解，进一步发展学生的类比思想；
（3）寻找出确定多项式各项的公因式的一般方法，培养学生的初步归纳能力． （三）情感与态度：
进一步培养学生的矛盾对立统一的哲学观点以及实事求是的科学态度． 教学重点：1.能准确找出多项式中含有的公因式（公因式是单项式）；
2.能灵活运用提公因式法分解因式
教学难点：灵活运用提公因式法分解因式。 教学方法：探索、归纳 教学过程 一、问题、
777计算：?13??6??2
999提问：用什么方法计算的？这个式子的各项有相同的因数吗？
利用乘法的分配律进行逆运算的方法很熟悉，能很快找到这个式子各项有的相同因数提出公因数二、探究
2后，很快得出这一题的计算结果是7． 92，在9 想一想：多项式 ab+ac中，各项有相同的因式吗？多项式 x2+4x呢？多项式mb2+nb–b呢？多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式．
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多项式2x2y+6x3y2中各项的公因式是什么？
三、梳理
结论：（1）各项系数是整数，系数的最大公约数是公因式的系数； （2）各项都含有的字母的最低次幂的积是公因式的字母部分； （3）公因式的系数与公因式字母部分的积是这个多项式的公因式． 将以下多项式写成几个因式的乘积的形式：
（1）ab+ac （2）x2+4x （3）mb2+nb–b
如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 四、应用
例1、将下列多项式进行分解因式：
（1）3x+6 （2）7x2–21x （3）8a3b2–12ab3c+ab （4）–24x3–12x2+28x 归纳：提取公因式的步骤：
（1）找公因式； （2）提公因式．
易出现的问题：（1）第（3）题中的最后一项提出ab后，漏掉了“+1”； （2）第（4）题提出“–”时，后面的因式不是每一项都变号． 矫正对策：（1）因式分解后括号内的多项式的项数与原多项式的项数是否相同；
（2）如果多项式的第一项带“–”，则先提取“–”号，然后提取其它公因式； （3）将分解因式后的式子再进行单项式与多项式相乘，其积是否与原式相等．
例2 将下列各式分解因式： （1）?8x4y?6x3y2?2x3y （2）ab2?a2b （3）?x2y3?x3y3?2x4y4z （4）4xn?2yn?1?2xn?1yn?6xnyn?1
思路导航：提取公因式，首先应取各项系数的最大公约数，字母取各项都含有的相同字母，
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因式分解教案
