与AB平行.当k?0时,由
1kAB?x0?p得:x0?kk2.?点N的横坐标为.对y?2x求导得:44kky'?4x,从而y'()?4??k.即抛物线C在点N处的切线的斜率等于直线AB的斜率.故抛物线C44yA在点N处的切线与AB平行.(Ⅱ)解:若NA?NB?0,则NA?NB,即?ANB?90?.Mk2?8?|AB|?2|AM|?2|BM|?2|MN|.y0?kx0?2?,
4B?y?kx?2,k?8kk?162?|MN|?y0?yN?.由?得2x?kx?2?0.??2488?y?2x.222NO x设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1?x2?22k,x1x2??1.22k21?|AB|?(1?k)[(x1?x2)?4x1x2]?(k?1)(?4)?(k2?1)(k2?16).
421k2?16(k2?16)22222?. 即(k?1)(k?16)?.(k?1)(k?16)?2?284k2?162化简,得:k?1?,即k?4.?k??2.故存在实数k??2,使NA?NB?0.
42, 当l的斜率为1时,其方程为x?y?c?0,O到l的距离为20.解:(Ⅰ)设F?c,0?
0?0?c2?c2,故
c2?2c3,c?1.由 e??得2a3a?3,b?a2?c2=2.
(Ⅱ)设C上存在点P,使得当l绕F转到某一位置时,有OP?OA?OB成立.椭圆的方程为
x2y2??1,点F的坐标为(1,0).设弦AB的中点为Q(x,y). 32由OP?OA?OB可知,四边形
OAPB是平行四边形,点Q是线段OP的中点,点P的坐标为(2x,2y),点P在椭圆上,?4x2?2y2?1若直线l的斜率不存在,则l?x轴,这时点Q与F(1,0)重合,OP?(2,0),点P不在椭3圆上,故直线l的斜率存在.由点差法公式kAByb2yy22???2得:???.?y2??(x2?x).xx?1x33a6
由①和②解得:x?3232y.?当x?,y?时,kAB?,y????2,点P的坐标为
4444x?13232y时,kAB?(,),直线l的方程为2x?y?2?0;当x?,y???2,点P的坐
2244x?1标为(,?32232),直线l的方程为2x?y?2?0.综上,C上存在点P(,?)使OP?OA?OB成2222?0.
立,此时l的方程为2x?y?y0b2b2b221.解:(Ⅰ)由kBD??2得2?3,?e?1?2?2.
x0aaa(Ⅱ)由(Ⅰ)知,C的方程为3x?y?3a,c?2a,?A(a,0),F(2a,0).直线l的方程为y?x?2,
222由??y?x?2222?3x?y?3a得2x?4x?3a?4?0.设B(x1,y1),D(x2,y2),则
223a2?4x1?x2?2,x1x2??.
2|BF|?(x1?2a)2?y1?x1?4ax1?4a2?3x1?3a2?|2x1?a|,同理|DF|?|2x2?a|.
由|BF|?|DF|?17得|4x1x2?2(x1?x2)?a|?|5a?4a?8|?17.因为a>0,所以
2222295a2?4a?8?17.解得a?1,或a??(舍去),
5故|BD|?7(1?k2)[(x1?x2)2?4x1x2]?2?(22?4?)?6,连结MA,则由A(1,0),M(1,3)知
2MA?3,从而MA=MB=MD,且MA?x轴,因此以M为圆心,MA为半径的圆经过A、B、D三点,
且在点A处与x轴相切,所以过A、B、D三点的圆与x轴相切.
x2y222.解:(Ⅰ)设双曲线的方程为2?2?1(a>0,b>0).
ab?|OA|、|AB|、|OB|成等差数列,设|AB|?m,公差为d,则|OA|?m?d,|OB|?m?d,?(m?d)2?m2?(m?d)2. 即m2?2dm?d2?m2?m2?2dm?d2.?m?4d. 从而|OA|?3d,|AB|?4d,|OB|?5d.
又设直线l1的倾斜角为?,则?AOB?2?. l1的方程为y?7
yl2Al1M O F xNBbx.a?tan??|AB|4b?.. 而tan2??tan?AOB?|OA|3a2?b2tan?a?4.解之得:b?1.?e?1?(b)2?5.??b3a2a21?tan2?1?()2a(Ⅱ)设过焦点F的直线AB的倾斜角为?,
2则???2??.?cos???sin?.
而
1()22b2b1tan?1222H??2b??b.cos???.通径sin????.21aa551?tan?1?()22又设直线AB与双曲线的交点为M、N. 于是有:|MN|?H?4.?221?ecos?b1?(521)?25?4.
x2y2解得b?3,从而a?6.?所求的椭圆方程为??1.
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