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线性代数超强总结
?A不可逆 ?A可逆 ??r(A)?n r(A)?n ????Ax?0只有零解 A????Ax??有非零解 ??0是A的特征值 ?A的特征值全不为零 ??A??? A的列（行）向量线性相关??A的列（行）向量线性无关 ??ATA是正定矩阵 ??A与同阶单位阵等价 ??A?p1p2???ps,pi是初等阵 n?????,Ax??总有唯一解向量组等价??具有相似矩阵?????反身性、对称性、传递性 矩阵合同??√ 关于e1,e2,???,en：
①称为
n的标准基，
n中的自然基，单位坐标向量；
②e1,e2,???,en线性无关； ③e1,e2,???,en?1； ④tr(E)=n；
⑤任意一个n维向量都可以用e1,e2,???,en线性表示.
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√ 行列式的计算：
A??A??A??AB ① 若A与B都是方阵（不必同阶）,则
?B?B?B?A
B??(?1)mnAB ②上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积.
?a1n?a1n ③关于副对角线：
a2n?1?a2n?1?(?1)n(n?1)2a1na2nan1an1?an1?√ 逆矩阵的求法:
①A?1?A?A
②(AE)????初等行变换?(EA?1) ?ab??11?d??AB?T③??ATCT??cd???b?ad?bc???ca? ???CD?????BTDT? ????a1??1?1a??1a?11??1????④?a2a2??a??? ?2????????????a????n???1?an????an???1a1.下载可编辑.
1an???1a?2???
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??1?A1??A?1?1?A?11???A?1n?⑤?A2A?1??2A?2????????????? ??????A?12? ?A???A?1????n??n???An????A?1?1??√ 方阵的幂的性质：AmAn?Am?n (Am)n?(A)mn √ 设f(x)?ammmx?am?1m?1x??a1x?a0，对n阶矩阵A规定：f(A)?amA?am?1m?1A??a1A?a0E为A的一个多项式.
√
设
Am?n,Bn?s,A的列向量为
?1,?2,???,?n,B的列向量为
?1,?2,???,?s，AB则：ri?A?i,i?1,2,,s,即 A(?1,?2,???,?s)?(A?1,A?2,,A?s)?用A,B中简 r,r, 若??(bb?1,b2,,bn)T,则 A??b1?1?2?2?bn?n?单的一个提1,r2,s即：AB的第i个列向量r组合系数就是?? i是A的列向量的线性组合,i的各分量；高运算速度? AB的第i个行向量ri是B的行向量的线性组合,组合系数就是?i的各分量.?? √ 用对角矩阵?左乘一个矩阵,相当于用?的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量； 用对角矩阵?右乘一个矩阵,相当于用?的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘,
??A11????与分块对角阵相乘类似,即：A??A??B1122B?22????,B????? ??A???kk???B?kk?.下载可编辑.
列向为
的量
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