由；
（2）现从被调查的男生中按分层抽样的方法选出5人，再从这5人中随机选取3人参加座谈会，记这3人中“手机控”的人数为X，试求X的分布列与数学期望.
n?ad?bc?2参考公式：K?，其中n?a?b?c?d.
?a?b??c?d??a?c??b?d?【答案】(1) 有99.5%的把握认为“手机股”与性别有关;(2)见解析. 【解析】
2试题分析：(1)现根据题意补充完整列联表然后根据K?2n?ad?bc?2?a?b??c?d??a?c??b?d?计算对照表
格即可得结论（2）用分层抽样的方法选出的5人中有“手机控”2人，“非手机控”3人. 再从这5人中
3C31P?X?0??3?；“手机控”的人数可能为0,1,2，随机选取3人，所以X的所有可能取值为0,1,2，
C5101221C2C33C2C33P?X?1???PX?2??，列出分布列求期望即可 ；??33C55C510解析;
（1）因为男生、女生各25名，于是将列联表补充如下：
因为K2?50??20?15?10?5?30?20?25?252?8.333?7.879，
所以有99.5%的把握认为“手机股”与性别有关.
（2）用分层抽样的方法选出的5人中有“手机控”2人，“非手机控”3人. 再从这5人中随机选取3人，“手机控”的人数可能为0,1,2， 所以X的所有可能取值为0,1,2，
31221C3C2C33C2C331P?X?0??3?；P?X?1???PX?2??. ；??33C510C55C510所以X的分布列是
X P
0 1 2 1 103 53 10所以X的数学期望E?X??0?1336?1??2??. 10510520．动点P到定点F?0,1?的距离比它到直线y??2的距离小1，设动点P的轨迹为曲线C，过点F的直线交曲线C于A、B两个不同的点，过点A、B分别作曲线C的切线，且二者相交于点M. （1）求曲线C的方程； （2）求证： AB?MF?0； 【答案】（1）x?4y；（2）见解析. 【解析】 试题分析：
（Ⅰ）由题意，条件可转化为动点P到定点F?0,1?的距离等于它到直线y??1距离，即动点P的轨迹是以F?0,1?为焦点，直线y??1为准线的抛物线，即可求解抛物线的方程.
2uuuvuuuvx2?4y?（Ⅱ）设直线AB的方程为y?kx?1，由{得x2?4kx?4?0，可得直线AM和直线BMy?kx?1的方程，求的M?2k,?1?，即可证得AB?MF?0. 试题解析：
（1）由已知，动点P在直线y??2上方，条件可转化为动点P到定点F?0,1?的距离等于它到直线
uuuvuuuvy??1距离
∴动点P的轨迹是以F?0,1?为焦点，直线y??1为准线的抛物线故其方程为x?4y.
2（2）证：设直线AB的方程为： y?kx?1
x2?4y由{得： x2?4kx?4?0
y?kx?1设A?xA,yA?， B?xB,yB?，则xA?xB?4k， xAxB??4
121x，∴y??x 42121∴直线AM的方程为： y?xA?xA?x?xA? ①
42121直线BM的方程为： y?xB?xB?x?xB? ②
42x?xB11xB2?xA2?xB2?xA2，即x?A?2k ①-②得： 422x?xB121x?xA11?xAxB?xA2 将x?A代入①得： y?xA?xAB2422441∴y?xAxB??1故M?2k,?1?
4uuuruuur∴MF??2k,?2?， AB??xB?xA,k?xB?xA??
2由x?4y得： y?????uuuruuur∴AB?MF?2k?xB?xA??2k?xB?xA??0.
21．已知函数f（x）＝x2+2﹣alnx﹣bx（a＞0）．
（Ⅰ）若a＝1，b＝3，求函数y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程； （Ⅱ）若f（x1）＝f（x2）＝0，且x1≠x2，证明：f′（【答案】（Ⅰ）y??2x?2；（Ⅱ）见解析. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）求f（x）的导数，可得切线的斜率，以及切点，由点斜式方程可得切线方程；
（Ⅱ）由函数零点定义，两方程相减可得两个零点之间的关系，用变量集中的方法，把两个零点集中为一个变量，求导数，判断单调性，即可得证.. 【详解】
解：（Ⅰ）若a＝1，b＝3，f（x）＝x2+2﹣lnx﹣3x， 导数为f′（x）＝2x﹣﹣3， 可得在x＝1处切线的斜率为﹣2，
f（1）＝0，可得切线方程为y＝﹣2（x﹣1）， 即为2x+y﹣2＝0；
（Ⅱ）证明：若f（x1）＝f（x2）＝0，且x1≠x2， 可得x12+2﹣alnx1﹣bx1＝0，x22+2﹣alnx2﹣bx2＝0，
两式相减可得（x1﹣x2）（x1+x2）﹣a（lnx1﹣lnx2）﹣b（x1﹣x2）＝0，
x1?x2）＞0． 2
即有x1+x2﹣b＝a?，
可设x0＝，
由f′（x0）＝2x0﹣﹣b＝（x1+x2﹣b）﹣
＝a?﹣
＝[ln﹣]
＝[ln﹣]，
令t＝，t＞1，可得f′（x0）＝[lnt﹣]，
设u（t）＝lnt﹣，t＞1，
导数为u′（t）＝﹣＝＞0，
可得u（t）在t＞1递增，且u（1）＝0， 可得u（t）＞u（1）＝0， 即lnt﹣
＞0，
又a＞0，x2﹣x1＞0，可得f′（x0）＞0， 综上可得f′（【点睛】
本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、极值和最值，考查转化思想、方程思想和构造函数法，以及化简变形能力，综合性较强．
（二）选考题：共10分.请考生在22,23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分. 22．在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系。已知曲线C
）＞0．
??x??2??2?4?的直线l的参数方程为?的极坐标方程为?sin??2acos?(a?0)，过点P??2，?y??4???（为参数），直线l与曲线C交于M、N两点。 （1）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程： （2）若|P M|,|M N|,|P N|成等比数列，求a的值。
【答案】（1）l的普通方程y?x?2；C的直角坐标方程y? 2ax；（2）a?1. 【解析】 【分析】
2t22t2（1）利用极坐标与直角坐标的互化公式即可把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，利用消去参数t即可得到直线l的直角坐标方程；
（2）将直线l的参数方程，代入曲线C的方程，利用参数的几何意义即可得出|PM|?|PN|，从而建立关于a的方程，求解即可． 【详解】
??x??2??（1）由直线l的参数方程??y??4???2t2消去参数t得, 2t2y??4?x?2，即y?x?2为l的普通方程
222由?sin??2acos?，两边乘以?得?sin??2a?cos?
?y? 2ax为C的直角坐标方程.
??x??2??（2）将??y??4???2t22代入抛物线y=2ax得t2?22(a?4)t?32?8a?0 2t2V?(22(a?4))2?4(32?8a)?0
t1?t2?22(a?4)?0
t1t2?32?8 a?0
备战2020高考数学（理科）全真模拟卷含答案解析14
