由;
(2)现从被调查的男生中按分层抽样的方法选出5人,再从这5人中随机选取3人参加座谈会,记这3人中“手机控”的人数为X,试求X的分布列与数学期望.
n?ad?bc?2参考公式:K?,其中n?a?b?c?d.
?a?b??c?d??a?c??b?d?【答案】(1) 有99.5%的把握认为“手机股”与性别有关;(2)见解析. 【解析】
2试题分析:(1)现根据题意补充完整列联表然后根据K?2n?ad?bc?2?a?b??c?d??a?c??b?d?计算对照表
格即可得结论(2)用分层抽样的方法选出的5人中有“手机控”2人,“非手机控”3人. 再从这5人中
3C31P?X?0??3?;“手机控”的人数可能为0,1,2,随机选取3人,所以X的所有可能取值为0,1,2,
C5101221C2C33C2C33P?X?1???PX?2??,列出分布列求期望即可 ;??33C55C510解析;
(1)因为男生、女生各25名,于是将列联表补充如下:
因为K2?50??20?15?10?5?30?20?25?252?8.333?7.879,
所以有99.5%的把握认为“手机股”与性别有关.
(2)用分层抽样的方法选出的5人中有“手机控”2人,“非手机控”3人. 再从这5人中随机选取3人,“手机控”的人数可能为0,1,2, 所以X的所有可能取值为0,1,2,
31221C3C2C33C2C331P?X?0??3?;P?X?1???PX?2??. ;??33C510C55C510所以X的分布列是
X P
0 1 2 1 103 53 10所以X的数学期望E?X??0?1336?1??2??. 10510520.动点P到定点F?0,1?的距离比它到直线y??2的距离小1,设动点P的轨迹为曲线C,过点F的直线交曲线C于A、B两个不同的点,过点A、B分别作曲线C的切线,且二者相交于点M. (1)求曲线C的方程; (2)求证: AB?MF?0; 【答案】(1)x?4y;(2)见解析. 【解析】 试题分析:
(Ⅰ)由题意,条件可转化为动点P到定点F?0,1?的距离等于它到直线y??1距离,即动点P的轨迹是以F?0,1?为焦点,直线y??1为准线的抛物线,即可求解抛物线的方程.
2uuuvuuuvx2?4y?(Ⅱ)设直线AB的方程为y?kx?1,由{得x2?4kx?4?0,可得直线AM和直线BMy?kx?1的方程,求的M?2k,?1?,即可证得AB?MF?0. 试题解析:
(1)由已知,动点P在直线y??2上方,条件可转化为动点P到定点F?0,1?的距离等于它到直线
uuuvuuuvy??1距离
∴动点P的轨迹是以F?0,1?为焦点,直线y??1为准线的抛物线故其方程为x?4y.
2(2)证:设直线AB的方程为: y?kx?1
x2?4y由{得: x2?4kx?4?0
y?kx?1设A?xA,yA?, B?xB,yB?,则xA?xB?4k, xAxB??4
121x,∴y??x 42121∴直线AM的方程为: y?xA?xA?x?xA? ①
42121直线BM的方程为: y?xB?xB?x?xB? ②
42x?xB11xB2?xA2?xB2?xA2,即x?A?2k ①-②得: 422x?xB121x?xA11?xAxB?xA2 将x?A代入①得: y?xA?xAB2422441∴y?xAxB??1故M?2k,?1?
4uuuruuur∴MF??2k,?2?, AB??xB?xA,k?xB?xA??
2由x?4y得: y?????uuuruuur∴AB?MF?2k?xB?xA??2k?xB?xA??0.
21.已知函数f(x)=x2+2﹣alnx﹣bx(a>0).
(Ⅰ)若a=1,b=3,求函数y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程; (Ⅱ)若f(x1)=f(x2)=0,且x1≠x2,证明:f′(【答案】(Ⅰ)y??2x?2;(Ⅱ)见解析. 【解析】 【分析】
(Ⅰ)求f(x)的导数,可得切线的斜率,以及切点,由点斜式方程可得切线方程;
(Ⅱ)由函数零点定义,两方程相减可得两个零点之间的关系,用变量集中的方法,把两个零点集中为一个变量,求导数,判断单调性,即可得证.. 【详解】
解:(Ⅰ)若a=1,b=3,f(x)=x2+2﹣lnx﹣3x, 导数为f′(x)=2x﹣﹣3, 可得在x=1处切线的斜率为﹣2,
f(1)=0,可得切线方程为y=﹣2(x﹣1), 即为2x+y﹣2=0;
(Ⅱ)证明:若f(x1)=f(x2)=0,且x1≠x2, 可得x12+2﹣alnx1﹣bx1=0,x22+2﹣alnx2﹣bx2=0,
两式相减可得(x1﹣x2)(x1+x2)﹣a(lnx1﹣lnx2)﹣b(x1﹣x2)=0,
x1?x2)>0. 2
即有x1+x2﹣b=a?,
可设x0=,
由f′(x0)=2x0﹣﹣b=(x1+x2﹣b)﹣
=a?﹣
=[ln﹣]
=[ln﹣],
令t=,t>1,可得f′(x0)=[lnt﹣],
设u(t)=lnt﹣,t>1,
导数为u′(t)=﹣=>0,
可得u(t)在t>1递增,且u(1)=0, 可得u(t)>u(1)=0, 即lnt﹣
>0,
又a>0,x2﹣x1>0,可得f′(x0)>0, 综上可得f′(【点睛】
本题考查导数的运用:求切线方程和单调性、极值和最值,考查转化思想、方程思想和构造函数法,以及化简变形能力,综合性较强.
(二)选考题:共10分.请考生在22,23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分. 22.在平面直角坐标系xoy中,以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系。已知曲线C
)>0.
??x??2??2?4?的直线l的参数方程为?的极坐标方程为?sin??2acos?(a?0),过点P??2,?y??4???(为参数),直线l与曲线C交于M、N两点。 (1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程: (2)若|P M|,|M N|,|P N|成等比数列,求a的值。
【答案】(1)l的普通方程y?x?2;C的直角坐标方程y? 2ax;(2)a?1. 【解析】 【分析】
2t22t2(1)利用极坐标与直角坐标的互化公式即可把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程,利用消去参数t即可得到直线l的直角坐标方程;
(2)将直线l的参数方程,代入曲线C的方程,利用参数的几何意义即可得出|PM|?|PN|,从而建立关于a的方程,求解即可. 【详解】
??x??2??(1)由直线l的参数方程??y??4???2t2消去参数t得, 2t2y??4?x?2,即y?x?2为l的普通方程
222由?sin??2acos?,两边乘以?得?sin??2a?cos?
?y? 2ax为C的直角坐标方程.
??x??2??(2)将??y??4???2t22代入抛物线y=2ax得t2?22(a?4)t?32?8a?0 2t2V?(22(a?4))2?4(32?8a)?0
t1?t2?22(a?4)?0
t1t2?32?8 a?0
备战2020高考数学(理科)全真模拟卷含答案解析14
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