又MF?11PF?(2a?2b)?a?b,OF?c, 22222所以在直角三角形OMF中,由勾股定理得(a?b)?b?c,
又a2?b2?c2,可得2a?3b,①
因为F(?25,0)为椭圆的焦点,所以c?25, 所以a2?b2?20,② 联立①②解得a?6,b?4,
x2y2所以椭圆C的方程为??1.
3616x2y2故答案为: ??1
3616【点睛】
本题考查了椭圆的定义,考查了三角形的中位线定理,考查了利用a,b,c求椭圆方程,本题属于中档题.
an?2an?1???（?为常数）16．在数列?an?中，如果对任意n?N，都有，则称数列?an?为比等an?1an*差数列，?称为比公差，现给出以下命题：
①若数列?cn?满足c1?1,c2?1,cn?cn?1?cn?2n?3,n?N②若数列满足an?3?2n?1?*?，则该数列不是比等差数列；
，则该数列是比等差数列，且比公差??0；
③等比数列一定是比等差数列，等差数列一定不是比等差数列； ④若?an?是等差数列，?bn?是等比数列，则数列?anbn?是比等差数列。 其中所有正确的序号是_________； 【答案】①② 【解析】 【分析】
①数列?cn?为斐波那契数列,根据数列的性质代入
an?2an?1?化简即可判断; an?1an
②数列为等比数列,所以代入公式③利用具体数列,代入即可判断;
an?2an?1?化简即可判断; an?1an④列举一个等差数列与一个等比数列,代入即可判断. 【详解】
对于①,数列?cn?为斐波那契数列,
cn?2cn?1cn?1?cncn?cn?1cncn?1??????常数 所以
cn?1cncn?1cncn?1cn不满足比等差数列的定义,所以①正确; 对于②, 数列an?3?2n?1an?2an?13?2n?13?2n????2?2?0 ,则
an?1an3?2n3?2n?1满足比等差数列的定义,所以②正确; 对于③,设等比数列an?a1q比等差数列;
n?1an?2an?1a1?qn?1a1?qn????q?q?0,所以等比数列一定是,则nn?1an?1ana1?qa1?qan?2an?1a1a1????1?1?0也是比等差数列,所以③错误; 当等差数列为常数数列时,
an?1ana1a1对于④, ?an?是等差数列，?bn?是等比数列,所以设ann则anbn?n?2
n?2n?1??2n?12?n?2?2?n?1?2?an?2an?1?n?2??2?????常数 ???所以n?1nn?1nn?n?1?an?1ann?2?n?1??2?n,bn?2n
不满足比等差数列的定义,所以④错误. 综上可知, ①②正确 故答案为: ①② 【点睛】
本题考查了数列的新定义应用,注意理解所给条件,结合等差与等比数列的通项公式及性质判断,可利用特殊数列进行判定错误选项,属于难题.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必做题,每个考生都必须作答.第22/23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分
17．△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，a?btanA(a?b) . （Ⅰ）求证：△ABC是直角三角形； （Ⅱ）若c?10，求△ABC的周长的取值范围. 【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）20,10?102 【解析】 【分析】
（Ⅰ）由正弦定理和题设条件，化简得sinB?cosA，得到A?B????2，即可得到证明；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得?ABC的周长L?10?10sinA?10cosA?10?102sin(A?函数的图象与性质，即可求解． 【详解】
（Ⅰ）在?ABC中，由正弦定理，可得sinA?sinB?由a?b，可得A?B??4)，利用三角
sinA，即sinB?cosA， cosA?2，即△ABC是直角三角形.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得?ABC的周长L?10?10sinA?10cosA?10?102sin(A??4)，
由a?b可知，
?4?A??2，则
2??sin(A?)?1，即20?L?10?102， 24所以?ABC周长的取值范围是20,10?102． 【点睛】
本题主要考查了正弦定理的应用，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟练应用正弦定理的边角互化，以及合理利用三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
18．如图，在长方形ABCD中，AB?4，AD?2，点E是DC的中点.将?ADE沿AE折起，使平面ADE?平面ABCE，连结DB、DC、EB.
??
（1）求证：平面ADE?平面BDE；
（2）求平面ADE与平面BDC所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）见解析；（2）【解析】 【分析】
（1）由勾股定理得到AE?BE,根据平面ADE?平面ABCE,可得到BE?平面ADE,进而证明平面ADE?平面BDE；
（2）作AE的中点O,连结DO,可证得DO?平面ABCE,过E作直线EF//DO;
以EA、EB、EF分别为为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,分别求出各点坐标,进而求得两平面的法向量,从而求得锐二面角的余弦值. 【详解】
（1）证明：∵AD?DE?2,?ADE?90? 连接BE,∴AE?BE?22,AB?4, ∴AE2?BE2?AB2,∴AE?BE
又平面ADE?平面ABCE,平面ADEI平面ABCE?AE, ∴BE?平面ADE
又BE?平面BDE,∴平面ADE?平面BDE （2）作AE的中点O,连结DO, ∵DA?DE,∴DO?AE,
又平面ADE?平面ABCE,∴DO?平面ABCE, 过E作直线EF//DO,
以EA、EB、EF分别为为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系
11 11
则E(0,0,0),A(22,0,0),B(0,22,0),D(2,0,2)
uuuruuur?AB??22,22,0,EB?0,22,0
????uuur1uuur?EC?AB?(?2,2,0),∴C(?2,2,0)
2urrruuu平面ADE的法向量n1//EB,?n1?(0,1,0) uuuruuur又CB?(2,2,0),DB?(?2,22,?2)
设平面BDC的法向量为n2??x,y,z?,
rvruuu?n2?CB?0??x?y?0?2x?2y?0?v??ruuu,??,即?
??n2?DB?0???2x?22y?2z?0??x?2y?z?0uur?平面BDC的法向量n2?(1,?1,?3)
rrn1?n2?111rr?cosn1,n2?rr???
n1?n21?12???1?2?3211∴平面ADE与平面BDC所成锐二面角的余弦值为【点睛】
本题考查两平面垂直的证明,考查向量法求二面角,考查运算能力.
19．现在的人基本每天都离不开手机，许多人手机一旦不在身边就不舒服，几乎达到手机二十四小时不离身，这类人群被称为“手机控”，这一群体在大学生中比较突出.为了调查大学生每天使用手机的时间，某调查公司针对某高校男生、女生各25名学生进行了调查，其中每天使用手机时间超过8小时的被称为：“手机控”，否则被称为“非手机控”.调查结果如下： 女生 男生 合计
（1）将上面的列联表补充完整，再判断是否有99.5%的把握认为“手机控”与性别有关，说明你的理
手机控 10 非手机控 5 合计 50 11. 11
备战2024高考数学（理科）全真模拟卷含答案解析14
