[练案36]第四讲 数列求和
A组基础巩固
一、单选题
1．(2020·湖北武汉部分重点中学联考)已知数列{an}的通项公式是an＝(－1)·(3n－1)，则a1＋a2＋…＋a10＝( A )
A．15 C．－12
B．12 D．－15
n
[解析] 依题意，得a1＋a2＋…＋a10＝(a1＋a3＋…＋a9)＋(a2＋a4＋…＋a10)＝－(2＋82＋265＋29＋…＋26)＋(5＋11＋…＋29)＝－×5＋×5＝－70＋85＝15，故选A.
22
2．(2020·河北保定摸底)已知数列{an}的通项公式为an＝nsin (为Sn，则S2 017＝( C )
A．1 232 C．3 025
[解析] ∵an＝nsin (
B．3 019 D．4 321
n＋1
2
π)＋1，前n项和
n＋1
2
π)＋1，∴a1＝1×0＋1，a2＝2×(－1)＋1，a3＝3×0＋1，a4
＝4×1＋1，…，a2 017＝2 017×0＋1，∴S2 017＝2 017×1＋(－2＋4－6＋8＋…＋2 016)＝2 017＋504×2＝3 025.故选C.
1121231234
3．(2020·山西河津二中月考)已知数列{an}为，＋，＋＋，＋＋＋，…，若
2334445555
bn＝，则数列{bn}的前n项和Sn为( A )
anan＋1
A．C.
4n n＋1
2n－2B．
n＋1
1
n＋1
1＋2＋…＋nn＝，∴bn＝
n＋12nnn－1
D． 2n＋1
4n＋1
111＝4(－)，∴Sn＝4(1－)＝
nn＋1n＋1
[解析] ∵an＝4n.故选A. n＋1
4．化简Sn＝n＋(n－1)×2＋(n－2)×2＋…＋2×2A．2
n＋1
2n－2
＋2
n－1
的结果是( D )
＋n－2 B．2D．2
2
n＋1
－n＋2 －n－2
n－2
C．2－n－2
nn＋1
[解析] 因为Sn＝n＋(n－1)×2＋(n－2)×2＋…＋2×21)×2＋(n－2)×2＋…＋2×2
2
3
＋2
n－1
①，2Sn＝n×2＋(n－
2
3
n－1
＋2②，所以①－②得，－Sn＝n－(2＋2＋2＋…＋2)＝nnn＋2－2
n＋1
，所以Sn＝2
n＋1
－n－2.
5．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：
1111
(1)构造数列1，，，，…，；①
234n(2)将数列①的各项乘以，得到一个新数列a1，a2，a3，a4，…，an.
2则a1a2＋a2a3＋a3a4＋…＋an－1an＝( C ) A．
4C.
nn2
B．
D．
n－1
44
2
nn－1
4
nn＋1
nnn1n[解析] 依题意可得新数列为，，，…，×，
246n2
11
所以a1a2＋a2a3＋…＋an－1an＝[＋＋…＋
41×22×311111
＝(1－＋－＋…＋－) 4223n－1nn2
1
]
n－1nn2
n2n－1nn－1＝×＝.故选C. 4n4
6．(2020·云南玉溪一中月考)数列{an}首项a1＝1，对于任意m，n∈N，有an＋m＝an＋3m，则{an}前5项和S5＝( D )
A．121 C．31
B．25 D．35
*
[解析] 由题意知an＋1＝an＋3，∴{an}是首项为1公差为3的等差数列，a5＝a1＋12＝13，5
∴S5＝
a1＋a5
2
＝35.故选D.
二、多选题
1
7．已知数列{an}的前n项和为Sn(Sn≠0)，且满足an＋4SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝，则下列
4说法正确的是( AD )
1
A．Sn＝
4nB．an＝
4n1
n＋1
C．{an}为递增数列 1
D．数列{}为递增数列
Sn[解析] ∵an＋4SnSn－1＝0，∴Sn－Sn－1＋4SnSn－1＝0， 11∴－＝4，
SnSn－1Sn11
∴{}是以＝4为首项，4为公差的等差数列，也是递增数列，D正确．
S1
11
∴＝4n，∴Sn＝，A正确． Sn4n当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－
4n1
n－1
1
当n＝1时，a1＝，∴B、C不正确，故选A、D.
4
11212312
8．数列{an}的前n项和为Sn，若数列{an}的各项按如下规律：，，，，，，，，
233444553412n－1，，…，，，…，以下说法正确的是( ACD ) 55nnn3
A．a24＝
8
B．数列a1，a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9＋a10，…是等比数列 C．数列a1，a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9＋a10，…的前n项和为Tn＝5
D．若存在正整数k，使Sk<10，Sk＋1≥10，则ak＝
7
12313
[解析] 对于选项A，a22＝，a23＝，a24＝，故A正确．对于选项B、C，数列，1，，
888222…等差数列，Tn＝A、C、D.
三、填空题 9.
1111
＋2＋2＋…＋2－13－14－1n＋1
2
2
n2＋n4
n2＋n5
，故B错，C正确．对于选项D，S21>10，S20<10，a20＝，正确．故选47
3111
＝ －(＋) －142n＋1n＋2
[解析] ∵∴
1
n＋1
2
1＝2＝－1n＋2nn1111
＝(－)， n＋22nn＋2
2
1111
＋2＋2＋…＋2－13－14－1n＋1
2
－1
11111111＝(1－＋－＋－＋…＋－) 232435nn＋21311＝(－－) 22n＋1n＋2
3111＝－(＋)． 42n＋1n＋2
10．(2020·山东、湖北部分重点中学联考)已知数列{an}的前n项之和为Sn，若a1＝2，
an＋1＝an＋2n－1＋1，则S10＝__1_078__.
[解析] a1＝2，an＋1＝an＋2＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1?an＝2
n－1
n－1
＋1?an＋1－an＝2
n－3
n－1
＋1?an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…
n－2
＋2＋…＋2＋1＋n－1＋a1.
1－2n－1＝＋n－1＋2＝2＋n.
1－2
S10＝1＋2＋22＋…＋29＋
10×11
＝1 078. 2
11．(2020·广东省五校协作体高三第一次联考)已知数列{an}满足：a1为正整数，an＋1＝
an??，an为偶数?2??3an＋1，an为奇数，
如果a1＝1，则a1＋a2＋a3＋…＋a2 018＝__4_709__.
[解析] 由已知得a1＝1，a2＝4，a3＝2，a4＝1，a5＝4，a6＝2，周期为3的数列，a1＋a2
＋…＋a2 018＝(1＋4＋2)×672＋1＋4＝4 709.
12．(2020·福建省泉州市教学质量跟踪监测)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问依次一尺各重几何？”其意思是：“现有一根金杖(一头粗，一头细)长五尺，在粗的一端截下1尺，重4斤．在细的一端截下1尺，重2斤．问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问该金箠的总重量为__15__斤．
[解析] 由题意知，金箠的5段重量构成以4为首项，2为末项的等差数列，则总重量S＝
4＋2
×5＝15(斤)． 2
三、解答题
13．(2020·吉林省长春汽车经济开发区第六中学考试)已知公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝110，且a1，a2，a4成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式； (2)设数列{bn}满足bn＝[解析] (1)由题意知：
??a2＝a1a4?
?S10＝110?
2
1
an－1
1
，若数列{bn}前n项和Tn，证明：Tn<.
an＋12
??a1＋d＝a1
??
?10a1＋45d＝110?
2
a1＋3d
解得a1＝d＝2，故数列an＝2n. (2)由(1)可知bn＝
1
2n－1
111
＝(－)，
2n＋122n－12n＋1
1111111111
则Tn＝[(－)＋(－)＋…＋(－)]＝(1－)<.
213352n－12n＋122n＋12
14．(2020·云南省红河州高三复习统一检测)等差数列{an}的首项a1>0，数列{前n项和为Sn＝
1
anan＋1
}的
n. 2n＋1
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝(an＋1)·2an，求数列{bn}的前n项和Tn. [解析] (1)由{
}的前n项和为Sn＝知 anan＋12n＋11
n11
＝??aa3
?112??aa＋aa＝5，
1212
23
＝3
??a1a2＝3
可得?
??a2a3＝15，
设等差数列{an}的公差为d，
??a1a1＋d从而?
?a1＋d?
a1＋2d＝15，
??a1＝1
解得?
?d＝2?
??a1＝－1
或?
?d＝－2?
，
??a1＝1
又a1>0，则?
?d＝2?
，
故an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1. (2)由(1)知bn＝(an＋1)·2an＝2n·2
2n－1
＝n·4，
2
3
n则Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn－1＋bn＝1×4＋2×4＋3×4＋…＋(n－1)×4两边同时乘以4得4Tn＝1×4＋2×4＋3×4＋…＋(n－1)×4＋n×4两式相减得－3Tn＝4＋4＋4＋4＋…＋4－n×443n－1n＋1
故Tn＝＋·4.
99
B组能力提升
1
2
3
42
3
4
1n－1
＋n×4，
nnn＋1
，
n＋1
nn＋1
＝
4×
1－4
1－4
n－n×4，
1．(2020·益阳、湘潭调研考试)已知Sn为数列{an}的前n项和，若a1＝2且Sn＋1＝2Sn，设bn＝log2an，则
4 035A． 2 0182 017C． 2 018
1
b1b2b2b3
＋1
＋…＋
1
b2 017b2 018
的值是( B )
4 033B． 2 0172 016D． 2 017
[解析] 由Sn＋1＝2Sn可知，数列{Sn}是首项为S1＝a1＝2，公比为2的等比数列，所以Sn
(山东专用)2021版高考数学一轮复习练案(36)第五章数列第四讲数列求和(含解析)
