x
f3(x)＝f[f2(x)]＝f(
x
)＝＝. 3x＋4?x＋2?7x＋8
3x＋4x
3x＋4
由所求等式知，分子都是x，分母中常数项为2n，x的系数比常数项少1，为2n－1， x
故fn(x)＝n. ?2－1?x＋2n
AEAC
8.在平面几何中，△ABC的内角平分线CE分AB所成线段的比为＝，把这个结论类比到空间：
EBBC在三棱锥A－BCD中(如图所示)，平面DEC平分二面角A－CD－B且与AB相交于点E，则类比得到的结论是________. 答案
BES△BCD＝ EAS△ACD
解析 易知点E到平面BCD与平面ACD的距离相等， VE－BCD
BES△BCD＝＝. VE－ACDEAS△ACD
故
三、解答题
9.已知等差数列{an}的公差d＝2，首项a1＝5. (1)求数列{an}的前n项和Sn；
(2)设Tn＝n(2an－5)，求S1，S2，S3，S4，S5；T1，T2，T3，T4，T5，并归纳出Sn与Tn的大小规律. 解 (1)由于a1＝5，d＝2， n?n－1?
∴Sn＝5n＋×2＝n(n＋4).
2
(2)∵Tn＝n(2an－5)＝n[2(2n＋3)－5]＝4n2＋n. ∴T1＝5，T2＝4×22＋2＝18，T3＝4×32＋3＝39， T4＝4×42＋4＝68，T5＝4×52＋5＝105.
S1＝5，S2＝2×(2＋4)＝12，S3＝3×(3＋4)＝21， S4＝4×(4＋4)＝32，S5＝5×(5＋4)＝45. 由此可知S1＝T1，当n≥2时，Sn 归纳猜想：当n＝1时，Sn＝Tn；当n≥2，n∈N时，Sn 111 10.在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：2＝2＋2，那么在四面体ABCD中，类 ADABAC比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由. 第 6 页 解 如图所示，由射影定理 AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC， AC2＝BC·DC， ∴ 11 2＝ADBD·DC BC2BC2 ＝＝. BD·BC·DC·BCAB2·AC2AB＋AC111222 又BC＝AB＋AC，∴2＝. 22＝2＋ADAB·ACABAC2猜想，四面体ABCD中，AB、AC、AD两两垂直，AE⊥平面BCD， 则 1111 . 2＝2＋2＋AEABACAD22 2 证明：如图，连接BE并延长交CD于F，连接AF. ∵AB⊥AC，AB⊥AD， ∴AB⊥平面ACD. ∴AB⊥AF. 在Rt△ABF中，AE⊥BF， ∴ 111. 2＝2＋AEABAF2111 在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴2＝2＋2， AFACAD∴ 1111 . 2＝2＋2＋AEABACAD2B组 专项能力提升 (时间：30分钟) 1.给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)： ①“若a，b∈R，则a－b＝0?a＝b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＝0?a＝b”； ②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di?a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a＋b2＝c＋d2?a＝c，b＝d”； ③若“a，b∈R，则a－b>0?a>b”类比推出“若a，b∈C，则a－b>0?a>b”.其中类比结论正确的个数是 A.0 D.3 ( ) B.1 C.2 答案 C 解析 ①②正确，③错误.因为两个复数如果不全是实数，不能比较大小. 第 7 页 2.设是R的一个运算，A是R的非空子集.若对于任意a，b∈A，有ab∈A，则称A对运算封 闭.下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是( ) A.自然数集 C.有理数集 答案 C 解析 A错：因为自然数集对减法、除法不封闭；B错：因为整数集对除法不封闭；C对：因为任意两个有理数的和、差、积、商都是有理数，故有理数集对加、减、乘、除法(除数不等于零)四则运算都封闭；D错：因为无理数集对加、减、乘、除法都不封闭. 3.平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为________. n2＋n＋2答案 2 解析 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……，n条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3n?n＋1?n2＋n＋2 ＋…＋n)＝1＋＝个区域. 22 n＋2 4.数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n∈N*).证明： nSn(1)数列{}是等比数列； n(2)Sn＋1＝4an. n＋2 证明 (1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝S， nn∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)， 即nSn＋1＝2(n＋1)Sn. 故 Sn＝2·， nn＋1Sn＋1 (小前提) B.整数集 D.无理数集 Sn故{}是以2为公比，1为首项的等比数列. n(大前提是等比数列的定义，这里省略了) Sn＋1Sn－1 (2)由(1)可知＝4·(n≥2)， n＋1n－1 (结论) Sn－1n－1＋2 ∴Sn＋1＝4(n＋1)·＝4··Sn－1＝4an(n≥2). n－1n－1 (小前提) 第 8 页 又∵a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1， ∴对于任意正整数n，都有Sn＋1＝4an. (小前提) (结论) 5.对于三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导数，f″(x)是f′(x)的导数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对115 称中心.若f(x)＝x3－x2＋3x－，请你根据这一发现， 3212115 (1)求函数f(x)＝x3－x2＋3x－的对称中心； 3212 12342 012 (2)计算f()＋f()＋f()＋f()＋…＋f(). 2 0132 0132 0132 0132 013解 (1)f′(x)＝x2－x＋3，f″(x)＝2x－1， 1 由f″(x)＝0，即2x－1＝0，解得x＝. 21111115 f()＝×()3－×()2＋3×－＝1. 23222212 1151 由题中给出的结论，可知函数f(x)＝x3－x2＋3x－的对称中心为(，1). 321221151 (2)由(1)，知函数f(x)＝x3－x2＋3x－的对称中心为(，1)， 3212211 所以f(＋x)＋f(－x)＝2，即f(x)＋f(1－x)＝2. 2212 012故f()＋f()＝2， 2 0132 01322 011f()＋f()＝2， 2 0132 01332 010f()＋f()＝2， 2 0132 0132 0121f()＋f()＝2. 2 0132 013 12342 0121所以f()＋f()＋f()＋f()＋…＋f()＝×2×2 012＝2 012. 2 0132 0132 0132 0132 0132 第 9 页
人教版高中数学选修2-2教学案2.1合情推理与演绎推理（学生版）
