2016年清华大学领军计划数学测试题
x2y2111.椭圆2?2?1,两条直线l1:y?x,l2:y??x,过椭圆上一点P作两条直线的平行线,分
ab22别与两条直线交于M,N两点,若|MN|为定值,则a?( ) bA.2 B.3 C.2 D.5
2.已知x,y,z为正整数,x?y?z,那么方程
1111???的解有( )组 xyz2A.8 B.10 C.11 D.12
3.将16个数:4个1、4个2、4个3、4个4填入4?4的矩阵中,要求每行、每列正好有2个偶数,则共有______种填法.
接下来填数,故共有78????种填法.
4.对于复数z(z?0),
?8??8??4??4?z40和的实部和虚部均为不小于1的正数,则在复平面中,z所对应的向量OP10z的端点P运动所形成的图形面积为_______.
5.下列计算正确的是( )
A.tan1?tan61?tan121?3
tan1tan61tan121tan1?tan61?tan121??3
tan1tan61tan121B.C.tan1tan61?tan1tan121?tan61tan121?3 D.tan1tan61?tan1tan121?tan61tan121??3
6.从1~14的正整数中任选出若干数构成一个集合,该集合中任3个数不构成等差数列,求元素最多的集合的元素个数.
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7.已知tan4??
3sin4?sin2?sin?sin?,求值. ???3cos8?cos4?cos4?cos2?cos2?cos?cos?8.一堆数乘在一起有很多种乘的顺序,如三个数a,b,c可以有(ab)c,(ba)c,c(ab),c(ba)四种不同的乘法,记n个数的乘法为In,则( )
A.I2?2 B.I3?12 C.I4?96 D.I5?120
?a2?b2?c2?19.a,b,c?R,?,那么( )
a?b?c?1?A.amax?214 B.(abc)max?0 C.amin?? D.(abc)max?? 3327
10.AB为圆O的一条弦,P为圆O上一点,OC?AB,PA以下结论正确的是( )
OC?M,PB交OC延长线于N,则
POMABN
A.OMBP共圆 B.AMBN共圆 C.AOPN共圆 D.AOBN共圆
11.F为BC中点,A1E?则VO?BEF?( )
1AA1,正方体ABCD?A1B1C1D1棱长为1,中心为O,4A.17111711 B. C. D. 1441443838
12.问一个正2016边形,任选顶点顺序相连构成的凸多边形中,正多边形有( )个 A.6552 B.4536 C.3528 D.2016
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2y13.求不定方程x?615?2(x,y?N)解的个数( )
*A.0 B.1 C.2 D.3
14.O在?ABC内,S?AOB:S?BOC:S?AOC?4:3:2,AO??AB??AC,则??____,??_____.
z22?2?3?_______. 15.z?cos?sini,求z?2z?z?233
16.在N项有穷数列{an}中,满足①1?i?j?N时,ai?aj;②1?i?j?k?N时,ai?aj,ai?ak,
aj?ak至少有一项在{an}中,则N的最大值为______.
17.
18.|z?1|?|z|,求|z|的范围和argz的范围.
19.在正三棱锥P?ABC中,?ABC的边长为1,设P到平面ABC的距离为h,当h趋近于正无穷时,
异面直线AB与CP之间的距离为_____.
20.x,y,z均为非负实数,满足(x?)?(y?1)?(z?)?小值为______.
21.实数(x?y)?4xy,则x?y的最大值为______.
222.f(x)?(x?a)e有最小值,则x?2x?a?0的解的个数为______.
2x22322222?2?0(x??)2n?1(1?sin2nx)dx?______.
122232227,则x?y?z的最大值为______,最4
23.a1?1,a2?2,an?2?6an?1?an,下列叙述正确的是( )
A.an?12?an?2an为定值 B.an?lor2(mod9)
C.4anan?1?7为完全平方数 D.8anan?1?7为完全平方数
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24.已知抛物线E:y?4x,F(1,0),过F作弦交E于A,B两点,M为AB的中点,则下列说法正确的是( )
23A.以AB为直径的圆与x??始终相离 B.|AB|的最小值为4
2C.|AM|的最小值为2 D.以BM为直径的圆与y轴有且仅有一个交点
25.对于函数y?x?1和y?lnx,下列说法正确的事 .
2A.二者在(1,0)处有公切线 B.二者存在平行切线 C.两者只有一个交点 D.两者有两个交点
x2y226.p为椭圆2?2?1(a?b?0)上一点,F1,F2为左右焦点,下列说法正确的是 . abA.a?2b时,满足?F1PF2?90的p点有2个 B.a?2b时,满足?F1PF2?90的p点有4个 C.CPF1F2?4a
D.SPF1F2
a2? 227.随机变量?的分布列为P(??k)?ak(k?1,2,,10),则下列说法正确的是 . A.若a1,a2,B.若a1,a2,,a10成等差数列,则a5?a6?,a10满足an?1 51 291(n?1,2,2n,9),则a10?C.若P(??k)?k2ak,则an?11n(n?1,2,10(n?1),10)
D.若nan?(n?1)an?1,则an?11n
10(n?1)
28.甲,乙,丙,丁四人参加比赛并有两个获奖,以下是四人对获奖人的猜测: 甲:获奖者在乙,丙,丁中 乙:我未获奖,丙获奖 丙:甲丁有一人获奖
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丁:乙说的是正确的
已知四人中有两个人的猜测是正确的那么获奖人是 . 解析,若乙对,则丁对,甲对,故乙错,
29.下列能够成唯一?ABC的是 .
A.a?1,b?2,c?Z B.A?150,asinA?csinC?2asinC?bsinB C.cosAsinBcosC?cos(B?C)cosBsinC?0 D.a?3 ,b?1,A?60
30甲,乙,丙,丁四个人进行网球赛规定甲乙一组,丙丁一组先打,胜者再打决胜局,四人相互对战对战时胜率如图,求甲获胜的概率为 .
31.已知实数a,b,c满足a?b?c?1,则4a?1?4b?1?4c?1的最大值与最小值乘积属于区间( ).
A.(11,12) B.(12,13) C.(13,14) D.(14,15)
32. sinA?sinB?sinC?cosA?cosB?cosC为ABC为锐角形的( ).
A. 充要非必要条件 B. 必要非充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
33.已知集合A?{a1,a2,,an},任取1?i?j?k?n,ai?aj?A,aj?ak?A,ak?ai?A这三个
式中至少有一个成立,则n的最大值( ).
A. 6 B.7 C. 8 D.9
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2016年清华大学自主招生暨领军计划数学试题及解答2
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