（3）幂函数的性质
①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．
②过定点：所有的幂函数在(0,??)都有定义，并且图象都通过点(1,1)．
③单调性：如果??0，则幂函数的图象过原点，并且在[0,??)上为增函数．如果??0，则幂函数的图象在(0,??)上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴．
④奇偶性：当?为奇数时，幂函数为奇函数，当?为偶数时，幂函数为偶函数．当??qpq（其中p,q互质，pqp，若p为奇数q为奇数时，则y?x是奇函数，若p为奇数q为偶数时，则y?x是偶函数，若pp和q?Z）
为偶数q为奇数时，则y?x是非奇非偶函数．
?⑤图象特征：幂函数y?x,x?(0,??)，当??1时，若0?x?1，其图象在直线y?x下方，若x?1，
qp其图象在直线y?x上方，当??1时，若0?x?1，其图象在直线y?x上方，若x?1，其图象在直线y?x下方．
〖补充知识〗二次函数 （1）二次函数解析式的三种形式
第 - 11 - 页 共 26 页
①一般式：f(x)?2ax?b?x(c?a0)顶点式：f(x)?a(?x②
2h)?k(?a③0两)根式：
f(x)?a(x?x1)(x?x2)(a?0)（2）求二次函数解析式的方法
①已知三个点坐标时，宜用一般式．
②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求f(x)更方便． （3）二次函数图象的性质
①二次函数f(x)?ax?bx?c(a?0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为x??2b,顶点坐标是2ab4ac?b2(?,)． 2a4a②当a?0时，抛物线开口向上，函数在(??,?bbb时，]上递减，在[?,??)上递增，当x??2a2a2a4ac?b2bbbfmin(x)?；当a?0时，抛物线开口向下，函数在(??,?在[?当x??]上递增，,??)上递减，
4a2a2a2a4ac?b2时，fmax(x)?．
4a?③二次函数f(x)2ax?2b?x(c?0a当)??b?4ac?0时，图象与x轴有两个交点
M1(x1,0),M2(x2,0),|M1M2|?|x1?x2|??． |a|2（4）一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)根的分布
一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．
22 设一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)的两实根为x1,x2，且x1?x2．令f(x)?ax?bx?c，从以下
四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：x??①k＜x1≤x2 ?
b ③判别式：? ④端点函数值符号． 2a第 - 12 - 页 共 26 页
yyf(k)?0a?0x??b?2akxOO1x2xkx1x2x?x??bf(k)?02aa?0
②x1≤x2＜k ?
yya?0f(k)?0x??b?2axOx2O1kxxk1x2x?x??ba?0f(k)?02a
③x1＜k＜x2 ? af(k)＜0
yya?0?f(k)?0xOk1x2xx1Okx2x?f(k)?0a?0
④k1＜x1≤x2＜k2 ?
ya?0yx??b?f(k1)?0f(k2a2)?0?xx2k1k2Ok11k2xOx1x2xx??bf(?k1)?0f?(k2)?02a
a?0 ⑤有且仅有一个根x1（或x2）满足k1＜x1（或x2）＜k2 或f(k2)=0这两种情况是否也符合
第 - 13 - 页 共 26 页
? f(k1)f(k2)?0，并同时考虑f(k1)=0 y?f(k1)?0a?0yf(k1)?0?Ok1x1?k2x2xOx1k1x2?k2xf(k2)?0a?0f(k2)?0
⑥k1＜x1＜k2≤p1＜x2＜p2 ? 此结论可直接由⑤推出．
（5）二次函数f(x)?ax?bx?c(a?0)在闭区间[p,q]上的最值
2 设f(x)在区间[p,q]上的最大值为M，最小值为m，令x0?（Ⅰ）当a?0时（开口向上） ①若?
1(p?q)． 2bbbb?p，则m?f(p) ②若p???q，则m?f(?) ③若??q，则m?f(q) 2a2a2a2a?????????f(q) (p) x
Of(q) Of(?b)2afx
f(p) O ①若? fbf((p)? )2ax
b)2aff(?(q) bb?x0，则M?f(q) ②??x0，则M?f(p) 2a2a??????ff(p) x0x
O x(q)0 Ox
b)2afbf((p)? )2aff(?(q) 第 - 14 - 页 共 26 页
(Ⅱ)当a?0时(开口向下) ①若? ? O ①若?
bf(?)2abbbb?p，则M?f(p) ②若p???q，则M?f(?) ③若??q，则M?f(q) 2a2a2a2a?bf(?)2a?ff(?b)2af(p) x
f(p) O(q) x
Ox
??f
??(q)
??(q)
f
(p) fbb?x0，则m?f(q) ②??x0，则m?f(p)． 2a2a?f(?b)2a?f(p) Off(?b)2a(q) x0x
x0Of
??(q)
x
??f(p) 第 - 15 - 页 共 26 页
（完整word版）高中数学知识点总结（最全版）
