2008年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题
参考答案及评分标准
一、选择题(本题满分30分,每小题6分)
221. 如果实数m,n,x,y满足m?n?a,x?y?b,其中a,b为常数,那么mx+ny
22 的最大值为 答:[B]
a?bA. B.
2ab C.
a2?b2 D. 2a2?b2 2 解 由柯西不等式(mx?ny)2?(m2?n2)(x2?y2)?ab;或三角换元即可得到
mx?ny?ab,当m?n?a,x?y?b时,mx?ny?ab. 选B.
222. 设y?f(x)为指数函数y?a. 在P(1,1),Q(1,2),M(2,3),N?,?四点中,函数 y?f(x)与其反函数y?f?1x?11??24?(x)的图像的公共点只可能是点 答:[D]
A. P B. Q C. M D. N 解 取a?111?1??1?,把坐标代入检验,????,而???,∴公共点只可能是
2164?16??16?1214 点N. 选D.
3. 在如图的表格中,如果每格填上一个数后,每一横行成等差数列,每一纵列成等比 数列,那么x?y?z的值为 答:[A]
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
1 0.5
2 1
x
y
z
解 第一、二行后两个数分别为2.5,3与1.25,1.5;第三、四、五列中的x?0.5,y?5,16z?3,则x?y?z?1. 选A. 164. 如果?A1B1C1的三个内角的余弦值分别是?A2B2C2的三个内角的正弦值,那么
答:[B]
A. ?A1B1C1与?A2B2C2都是锐角三角形
B. ?A1B1C1是锐角三角形,?A2B2C2是钝角三角形 C. ?A1B1C1是钝角三角形,?A2B2C2是锐角三角形 D. ?A1B1C1与?A2B2C2都是钝角三角形
?A1B1C1的内角余弦都大于零, 解 两个三角形的内角不能有直角;所以是锐角三角形;
若?A2B2C2是锐角三角形,则不妨设
cosA1=sinA2=cos????????A1?, cosB1=sinB2=cos??A2?, ?2??2?cosC1=sinC2=cos?则 A1?????C1?. ?2??2?A2,B1??2?B2,C1??2?C2,
即 A1?B1?C1?3??(A2?B2?C2),矛盾. 选B. 25. 设a,b是夹角为30°的异面直线,则满足条件“a??,b??,且???”的 平面?,?
A. 不存在 B. 有且只有一对 C. 有且只有两对 D. 有无数对
解 任作a的平面?,可以作无数个. 在b上任取一点M,过M作?的垂线. b与 垂线确定的平面?垂直于?. 选D. 二、填空题(本题满分50分,每小题10分)
6. 设集合A?xx??x??2和B?xx?2,其中符号?x?表示不大于x的最大整数,则
2答: [D]
???? A?B??1,3.
解 ∵x?2,?x?的值可取?2,?1,0,1.
当[x]=?2,则x?0无解; 当[x]=?1,则x?1,∴x=?1;
22当[x]=0,则x?2无解; 当[x]=1,则x?3,∴x?22??3.
所以x??1或3.
7. 同时投掷三颗骰子,于少有一颗骰子掷出6点的概率是P? 分数).
91(结果要求写成既约 21691?5? 解 考虑对立事件,P?1????.
216?6?8. 已知点O在?ABC内部,OA?2OB?2OC?0.?ABC与?OCB的面积之比为5:1. 解 由图,?ABC与?OCB的底边相同,
高是5:1. 故面积比是5:1.
9. 与圆x?y?4x?0外切,且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程为y2?8x(x?0)或
223AOBC y?0(x?0).
解 由圆锥曲线的定义,圆心可以是以(2,0)为焦点、x??2为准线的抛物线上的点;若切点是原点,则圆心在x轴负半轴上.所以轨迹方程为y?8x(x?0),或y?0(x?0).
2a2?b210. 在?ABC中,若tanAtanB=tanAtanC+tanctanB,则 = 3 .
c2解 切割化弦,已知等式即
sinAsinBsinAsinCsinBsinC, ??cosAcosBcosAcosCcosBcosC 亦即
sinAsinBcosCabcosCsinAsinBsin(A?B),即=1,即??1. 22sinCcosCsinCca2?b2?c2a2?b2?1,故?3. 所以,222cc三、解答题(本题满分70分,各小题分别为15分、15分、20分、20分)
11. 已知函数f(x)??2x?bx?c在x?1时有最大值1,0?m?n,并且x??m,n?时,
2?11?f(x)的取值范围为?,?. 试求m,n的值.
?nm? 解 由题 f(x)??2(x?1)?1, ……5分 ?f(x)?1,?21?1,即m?1,?f(x)在?m,n?上单调减, m2 ?f(m)??2(m?1)?1?112且f(n)??2(n?1)?1?. ……10分 mn2 ?m,n是方程f(x)??2(x?1)?1?1的两个解,方程即 x(x?1)(2x2?2x?1)=0,
解方程,得解为1,
1?31?3,.
22 ?1?m?n,?m?1,n?1?3. ……15分 2x2y2??1上的两个动点,满足OA?OB?0。 12. A、B为双曲线49 (Ⅰ)求证:
1OA2?1为定值;
2OB (Ⅱ)动点P在线段AB上,满足OP?AB?0,求证:点P在定圆上.
证 (Ⅰ)设点A的坐标为(rcos?,rsin?),B的坐标为(r?cos??,r?sin??),则
r?OA,
?cos2?sin2??r??OB,A在双曲线上,则r??4?9???1.
??21cos2?sin2?? 所以2?. ……5分 49r2222 由OA?OB?0得OA?OB,所以cos???sin?,cos??sin??.
1cos2??sin2??sin2?cos2???? 同理,2?,
?4949r所以1|OA|2?1|OB|2?11115????. ……10分 r2r'24936 (Ⅱ)由三角形面积公式,得OP?AB?OA?OB,所以
? OP?AB?OA?OB,即OP???OA?OB??OA?OB.
????22?11??11??5? 即OP????OP???OP??????1. ?22?49??36??OAOB???2222222222 于是,OP2?36.
5 即P在以O为圆心、
65为半径的定圆上. ……15分 513. 如图,平面M、N相交于直线l. A、D为l上两点,射线DB在平面M内,射线
DC在平面N内. 已知?BDC??,?BDA??,?CDA??,且?,?,? 都是
锐角. 求二面角M?l?N的平面角的余弦值(用?,?,?的三角函数值表示). 解 在平面M中,过A作DA的垂线,
交射线DB于B点;
ADNC在平面N中,过A作DA的垂线, 交射线DC于C点. 设DA=1,则
BMAB?tan?,DB?AC?tan?,DC?1, cos?1, ……5分 cos? 并且?BAC??就是二面角M?l?N平面角. ……10分
在?DBC与?ABC中,利用余弦定理,可得等式
BC2?112??cos??tan2??tan2??2tan?tan?cos?, 22cos?cos?cos?cos?22所以,2tan?tan?cos??tan??tan??112??cos?
cos2?cos2?cos?cos?=
2(cos??cos?cos?), ……15分
cos?cos?
……20分
故得到cos??cos??cos?cos?.
sin?sin?14. 能否将下列数组中的数填入3×3的方格表,每个小方格中填一个数,使得每行、每列、两条对角线上的3个数的乘积都相等?若能,请给出一种填法;若不能,请给予证明. (Ⅰ)2,4,6,8,12,18,24,36,48; (Ⅱ)2,4,6,8,12,18,24,36,72.
解(Ⅰ)不能. ……5分 因为若每行的积都相等,则9个数的积是立方数. 但是 2×4×6×8×12×18×24×36×48=21+2+1+3+2+1+3+2+4×3
1?1?2?1?2?1=219·38不是立方数,故不能.
(Ⅱ)可以. ……15分 如右表
36 8 6
2 24 18 4
12 72
全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题参考答案及评分标准
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